Номер 1040, страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах - номер 1040, страница 260.

Условие.

1040 Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BD$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. По условию задачи, длина этой медианы $BD = 160$ см, а длина основания $AC = 80$ см. Требуется найти длины двух других медиан, $AE$ и $CF$, где $E$ — середина стороны $BC$, а $F$ — середина стороны $AB$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $BD$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BD \perp AC$), и треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Кроме того, медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Значит, точка $D$ — середина основания $AC$. Найдем длину отрезка $AD$: $AD = \frac{AC}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

Теперь, зная длины двух катетов $AD$ и $BD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ (которая является боковой стороной равнобедренного треугольника) по теореме Пифагора: $AB^2 = AD^2 + BD^2$ $AB^2 = 40^2 + 160^2 = 1600 + 25600 = 27200$ $AB = \sqrt{27200} = \sqrt{1600 \cdot 17} = 40\sqrt{17}$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC = 40\sqrt{17}$ см.

Медианы, проведенные к равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Следовательно, $AE = CF$. Для решения задачи достаточно найти длину одной из этих медиан, например, $AE$. Длину медианы треугольника можно вычислить по формуле: $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$, где $m_a$ — медиана к стороне $a$, а $a, b, c$ — стороны треугольника.

Для медианы $AE$, проведенной к стороне $BC$, имеем:

• сторона, к которой проведена медиана: $a = BC = 40\sqrt{17}$ см;
• другие две стороны: $b = AC = 80$ см и $c = AB = 40\sqrt{17}$ см.

Подставим значения в формулу: $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 80^2 + 2 \cdot (40\sqrt{17})^2 - (40\sqrt{17})^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 80^2 + (40\sqrt{17})^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6400 + 27200}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{12800 + 27200}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{40000}$ $AE = \frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ см.

Таким образом, длина медианы $AE$ равна 100 см. Так как $AE = CF$, то длина медианы $CF$ также равна 100 см.

Ответ: длины двух других медиан равны 100 см каждая.