Номер 1040, страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1040, страница 260.

1040 Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BD$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. По условию задачи, длина этой медианы $BD = 160$ см, а длина основания $AC = 80$ см. Требуется найти длины двух других медиан, $AE$ и $CF$, где $E$ — середина стороны $BC$, а $F$ — середина стороны $AB$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $BD$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BD \perp AC$), и треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Кроме того, медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Значит, точка $D$ — середина основания $AC$. Найдем длину отрезка $AD$: $AD = \frac{AC}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

Теперь, зная длины двух катетов $AD$ и $BD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ (которая является боковой стороной равнобедренного треугольника) по теореме Пифагора: $AB^2 = AD^2 + BD^2$ $AB^2 = 40^2 + 160^2 = 1600 + 25600 = 27200$ $AB = \sqrt{27200} = \sqrt{1600 \cdot 17} = 40\sqrt{17}$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC = 40\sqrt{17}$ см.

Медианы, проведенные к равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Следовательно, $AE = CF$. Для решения задачи достаточно найти длину одной из этих медиан, например, $AE$. Длину медианы треугольника можно вычислить по формуле: $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$, где $m_a$ — медиана к стороне $a$, а $a, b, c$ — стороны треугольника.

Для медианы $AE$, проведенной к стороне $BC$, имеем:

• сторона, к которой проведена медиана: $a = BC = 40\sqrt{17}$ см;
• другие две стороны: $b = AC = 80$ см и $c = AB = 40\sqrt{17}$ см.

Подставим значения в формулу: $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 80^2 + 2 \cdot (40\sqrt{17})^2 - (40\sqrt{17})^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 80^2 + (40\sqrt{17})^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6400 + 27200}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{12800 + 27200}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{40000}$ $AE = \frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ см.

Таким образом, длина медианы $AE$ равна 100 см. Так как $AE = CF$, то длина медианы $CF$ также равна 100 см.

Ответ: длины двух других медиан равны 100 см каждая.