Номер 1043, страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1043, страница 260.

1043 Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ равны, то есть $AC = BD$. Необходимо доказать, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Для доказательства рассмотрим два треугольника, образованных диагоналями: $?ABD$ и $?DCA$.

Сравним эти треугольники:

1. Сторона $AB$ равна стороне $DC$, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма.

2. Диагональ $BD$ равна диагонали $AC$ согласно условию задачи.

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $?ABD$ равен треугольнику $?DCA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол $?BAD$ треугольника $?ABD$ равен углу $?CDA$ треугольника $?DCA$.

$$?BAD = ?CDA$$

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Углы $?BAD$ и $?CDA$ прилежат к стороне $AD$, поэтому их сумма равна $180°$.

$$?BAD + ?CDA = 180°$$

Так как мы установили, что эти углы равны, мы можем заменить $?CDA$ на $?BAD$ в уравнении:

$$?BAD + ?BAD = 180°$$

$$2 \cdot ?BAD = 180°$$

$$?BAD = \frac{180°}{2} = 90°$$

По определению, параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Поскольку в параллелограмме $ABCD$ мы нашли прямой угол ($?BAD = 90°$), то и все остальные его углы будут прямыми. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.