Номер 1043, страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах - номер 1043, страница 260.

Условие.

1043 Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ равны, то есть $AC = BD$. Необходимо доказать, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Для доказательства рассмотрим два треугольника, образованных диагоналями: $?ABD$ и $?DCA$.

Сравним эти треугольники:

1. Сторона $AB$ равна стороне $DC$, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма.

2. Диагональ $BD$ равна диагонали $AC$ согласно условию задачи.

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $?ABD$ равен треугольнику $?DCA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол $?BAD$ треугольника $?ABD$ равен углу $?CDA$ треугольника $?DCA$.

$$?BAD = ?CDA$$

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Углы $?BAD$ и $?CDA$ прилежат к стороне $AD$, поэтому их сумма равна $180°$.

$$?BAD + ?CDA = 180°$$

Так как мы установили, что эти углы равны, мы можем заменить $?CDA$ на $?BAD$ в уравнении:

$$?BAD + ?BAD = 180°$$

$$2 \cdot ?BAD = 180°$$

$$?BAD = \frac{180°}{2} = 90°$$

По определению, параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Поскольку в параллелограмме $ABCD$ мы нашли прямой угол ($?BAD = 90°$), то и все остальные его углы будут прямыми. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.