Номер 1046, страница 263 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1046, страница 263.

1046 Какие из точек А(3;−4), В(1;0), С(0;5), D(0;0) и Е(0;1) лежат на окружности, заданной уравнением:

a) $x^2+y^2=25;$

б) ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=9;$

в) ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-y^2=\frac{1}{4}?$

Чтобы определить, лежит ли точка на окружности, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение данной окружности. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка лежит на окружности. В противном случае точка не лежит на окружности.

Проверим каждую из точек $A(3; -4)$, $B(1; 0)$, $C(0; 5)$, $D(0; 0)$ и $E(0; 1)$ для каждого уравнения.

а) $x^2 + y^2 = 25$

Подставляем координаты точек в уравнение:

• Для точки $A(3; -4)$: $x=3, y=-4$.
  $3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$. Равенство $25=25$ верное, значит, точка A лежит на окружности.
• Для точки $B(1; 0)$: $x=1, y=0$.
  $1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Равенство $1=25$ неверное, значит, точка B не лежит на окружности.
• Для точки $C(0; 5)$: $x=0, y=5$.
  $0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$. Равенство $25=25$ верное, значит, точка C лежит на окружности.
• Для точки $D(0; 0)$: $x=0, y=0$.
  $0^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0$. Равенство $0=25$ неверное, значит, точка D не лежит на окружности.
• Для точки $E(0; 1)$: $x=0, y=1$.
  $0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Равенство $1=25$ неверное, значит, точка E не лежит на окружности.

Ответ: точки $A(3; -4)$ и $C(0; 5)$.

б) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9$

Подставляем координаты точек в уравнение:

• Для точки $A(3; -4)$: $x=3, y=-4$.
  $(3 - 1)^2 + (-4 + 3)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$. Равенство $5=9$ неверное, значит, точка A не лежит на окружности.
• Для точки $B(1; 0)$: $x=1, y=0$.
  $(1 - 1)^2 + (0 + 3)^2 = 0^2 + 3^2 = 0 + 9 = 9$. Равенство $9=9$ верное, значит, точка B лежит на окружности.
• Для точки $C(0; 5)$: $x=0, y=5$.
  $(0 - 1)^2 + (5 + 3)^2 = (-1)^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65$. Равенство $65=9$ неверное, значит, точка C не лежит на окружности.
• Для точки $D(0; 0)$: $x=0, y=0$.
  $(0 - 1)^2 + (0 + 3)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Равенство $10=9$ неверное, значит, точка D не лежит на окружности.
• Для точки $E(0; 1)$: $x=0, y=1$.
  $(0 - 1)^2 + (1 + 3)^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$. Равенство $17=9$ неверное, значит, точка E не лежит на окружности.

Ответ: точка $B(1; 0)$.

в)

В условии задачи сказано, что даны уравнения окружностей. Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ — это $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Уравнение в пункте (в) на изображении выглядит как $(x - \frac{1}{2})^2 - y^2 = \frac{1}{4}$, что является уравнением гиперболы. Вероятно, в условии допущена опечатка. Будем исходить из того, что правильное уравнение окружности: $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}$.

Подставляем координаты точек в это уравнение:

• Для точки $A(3; -4)$: $x=3, y=-4$.
  $(3 - \frac{1}{2})^2 + (-4)^2 = (\frac{5}{2})^2 + 16 = \frac{25}{4} + 16 = 6.25 + 16 = 22.25$. Равенство $22.25 = \frac{1}{4}$ неверное, точка A не лежит на окружности.
• Для точки $B(1; 0)$: $x=1, y=0$.
  $(1 - \frac{1}{2})^2 + 0^2 = (\frac{1}{2})^2 + 0 = \frac{1}{4}$. Равенство $\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ верное, значит, точка B лежит на окружности.
• Для точки $C(0; 5)$: $x=0, y=5$.
  $(0 - \frac{1}{2})^2 + 5^2 = (-\frac{1}{2})^2 + 25 = \frac{1}{4} + 25 = 25.25$. Равенство $25.25 = \frac{1}{4}$ неверное, точка C не лежит на окружности.
• Для точки $D(0; 0)$: $x=0, y=0$.
  $(0 - \frac{1}{2})^2 + 0^2 = (-\frac{1}{2})^2 + 0 = \frac{1}{4}$. Равенство $\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ верное, значит, точка D лежит на окружности.
• Для точки $E(0; 1)$: $x=0, y=1$.
  $(0 - \frac{1}{2})^2 + 1^2 = (-\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$. Равенство $\frac{5}{4}=\frac{1}{4}$ неверное, точка E не лежит на окружности.

Ответ: точки $B(1; 0)$ и $D(0; 0)$.