Номер 1041, страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах - номер 1041, страница 260.

Условие.

1041 Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. По условию задачи, длина высоты $BH = 10$ см. Высота делит основание $AC$ на два отрезка: $AH = 10$ см и $HC = 4$ см.

1. Нахождение длин сторон треугольника.

Полная длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HC$:
$AC = AH + HC = 10 + 4 = 14$ см.

Высота $BH$ перпендикулярна основанию $AC$, поэтому она образует два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Найдем длины боковых сторон $AB$ и $BC$ по теореме Пифагора.

Для треугольника $\triangle ABH$ (с катетами $AH=10$ и $BH=10$):
$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$
$AB = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Для треугольника $\triangle CBH$ (с катетами $HC=4$ и $BH=10$):
$BC^2 = HC^2 + BH^2 = 4^2 + 10^2 = 16 + 100 = 116$
$BC = \sqrt{116}$ см.

2. Определение меньшей из двух других сторон.

Теперь сравним длины сторон $AB$ и $BC$. Для этого удобнее сравнить их квадраты:
$AB^2 = 200$
$BC^2 = 116$
Так как $116 < 200$, то $BC < AB$. Следовательно, меньшей из двух других сторон является сторона $BC$.

3. Нахождение медианы, проведенной к меньшей стороне.

Требуется найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$. Обозначим эту медиану $m_{BC}$. Для вычисления длины медианы воспользуемся формулой, связывающей стороны треугольника и его медиану: $m_{BC}^2 = \frac{2(AB^2) + 2(AC^2) - BC^2}{4}$

У нас есть все необходимые значения:
$AB^2 = 200$
$AC^2 = 14^2 = 196$
$BC^2 = 116$

Подставляем эти значения в формулу: $m_{BC}^2 = \frac{2 \cdot 200 + 2 \cdot 196 - 116}{4}$
$m_{BC}^2 = \frac{400 + 392 - 116}{4}$
$m_{BC}^2 = \frac{792 - 116}{4}$
$m_{BC}^2 = \frac{676}{4}$
$m_{BC}^2 = 169$

Отсюда находим длину медианы: $m_{BC} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.