Страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1040 Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BD$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. По условию задачи, длина этой медианы $BD = 160$ см, а длина основания $AC = 80$ см. Требуется найти длины двух других медиан, $AE$ и $CF$, где $E$ — середина стороны $BC$, а $F$ — середина стороны $AB$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $BD$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BD \perp AC$), и треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Кроме того, медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Значит, точка $D$ — середина основания $AC$. Найдем длину отрезка $AD$: $AD = \frac{AC}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

Теперь, зная длины двух катетов $AD$ и $BD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ (которая является боковой стороной равнобедренного треугольника) по теореме Пифагора: $AB^2 = AD^2 + BD^2$ $AB^2 = 40^2 + 160^2 = 1600 + 25600 = 27200$ $AB = \sqrt{27200} = \sqrt{1600 \cdot 17} = 40\sqrt{17}$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC = 40\sqrt{17}$ см.

Медианы, проведенные к равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Следовательно, $AE = CF$. Для решения задачи достаточно найти длину одной из этих медиан, например, $AE$. Длину медианы треугольника можно вычислить по формуле: $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$, где $m_a$ — медиана к стороне $a$, а $a, b, c$ — стороны треугольника.

Для медианы $AE$, проведенной к стороне $BC$, имеем:

• сторона, к которой проведена медиана: $a = BC = 40\sqrt{17}$ см;
• другие две стороны: $b = AC = 80$ см и $c = AB = 40\sqrt{17}$ см.

Подставим значения в формулу: $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 80^2 + 2 \cdot (40\sqrt{17})^2 - (40\sqrt{17})^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 80^2 + (40\sqrt{17})^2}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6400 + 27200}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{12800 + 27200}$ $AE = \frac{1}{2}\sqrt{40000}$ $AE = \frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ см.

Таким образом, длина медианы $AE$ равна 100 см. Так как $AE = CF$, то длина медианы $CF$ также равна 100 см.

Ответ: длины двух других медиан равны 100 см каждая.

1041 Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. По условию задачи, длина высоты $BH = 10$ см. Высота делит основание $AC$ на два отрезка: $AH = 10$ см и $HC = 4$ см.

1. Нахождение длин сторон треугольника.

Полная длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HC$:
$AC = AH + HC = 10 + 4 = 14$ см.

Высота $BH$ перпендикулярна основанию $AC$, поэтому она образует два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Найдем длины боковых сторон $AB$ и $BC$ по теореме Пифагора.

Для треугольника $\triangle ABH$ (с катетами $AH=10$ и $BH=10$):
$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$
$AB = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Для треугольника $\triangle CBH$ (с катетами $HC=4$ и $BH=10$):
$BC^2 = HC^2 + BH^2 = 4^2 + 10^2 = 16 + 100 = 116$
$BC = \sqrt{116}$ см.

2. Определение меньшей из двух других сторон.

Теперь сравним длины сторон $AB$ и $BC$. Для этого удобнее сравнить их квадраты:
$AB^2 = 200$
$BC^2 = 116$
Так как $116 < 200$, то $BC < AB$. Следовательно, меньшей из двух других сторон является сторона $BC$.

3. Нахождение медианы, проведенной к меньшей стороне.

Требуется найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$. Обозначим эту медиану $m_{BC}$. Для вычисления длины медианы воспользуемся формулой, связывающей стороны треугольника и его медиану: $m_{BC}^2 = \frac{2(AB^2) + 2(AC^2) - BC^2}{4}$

У нас есть все необходимые значения:
$AB^2 = 200$
$AC^2 = 14^2 = 196$
$BC^2 = 116$

Подставляем эти значения в формулу: $m_{BC}^2 = \frac{2 \cdot 200 + 2 \cdot 196 - 116}{4}$
$m_{BC}^2 = \frac{400 + 392 - 116}{4}$
$m_{BC}^2 = \frac{792 - 116}{4}$
$m_{BC}^2 = \frac{676}{4}$
$m_{BC}^2 = 169$

Отсюда находим длину медианы: $m_{BC} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

1042 Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB$ и $CD$ ($AB = CD$). Необходимо доказать, что ее диагонали $AC$ и $BD$ равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:
1. $AB = CD$ по определению равнобедренной трапеции.
2. Сторона $AD$ является общей.
3. Углы при основании равнобедренной трапеции равны, следовательно, $\angle BAD = \angle CDA$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие против равных углов: $AC = BD$.

Ответ: Утверждение доказано. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение

Формулировка обратного утверждения: Если в трапеции диагонали равны, то эта трапеция является равнобедренной.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), в которой диагонали равны: $AC = BD$. Необходимо доказать, что трапеция равнобедренная, то есть $AB = CD$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $AD \parallel BC$, то высоты, проведенные между этими параллельными прямыми, равны: $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$.

В них:
1. $AC = BD$ по условию.
2. $CK = BH$ как высоты трапеции.

По теореме Пифагора для $\triangle ACK$: $AK^2 = AC^2 - CK^2$.
По теореме Пифагора для $\triangle DBH$: $DH^2 = BD^2 - BH^2$.

Так как правые части этих равенств равны, то равны и левые: $AK^2 = DH^2$, откуда следует, что $AK = DH$ (поскольку длины отрезков — положительные величины).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В них:
1. $BH = CK$ как высоты трапеции.
2. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником (так как $BC \parallel HK$, $BH \perp AD$, $CK \perp AD$), поэтому $HK = BC$. Мы знаем, что $AK = DH$. При этом $AK = AH + HK$, а $DH = DK + HK$. Из $AH + HK = DK + HK$ следует, что $AH = DK$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по двум катетам ($AH = DK$ и $BH = CK$).

Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = DC$.

Следовательно, трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.

1043 Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ равны, то есть $AC = BD$. Необходимо доказать, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Для доказательства рассмотрим два треугольника, образованных диагоналями: $?ABD$ и $?DCA$.

Сравним эти треугольники:

1. Сторона $AB$ равна стороне $DC$, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма.

2. Диагональ $BD$ равна диагонали $AC$ согласно условию задачи.

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $?ABD$ равен треугольнику $?DCA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол $?BAD$ треугольника $?ABD$ равен углу $?CDA$ треугольника $?DCA$.

$$?BAD = ?CDA$$

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Углы $?BAD$ и $?CDA$ прилежат к стороне $AD$, поэтому их сумма равна $180°$.

$$?BAD + ?CDA = 180°$$

Так как мы установили, что эти углы равны, мы можем заменить $?CDA$ на $?BAD$ в уравнении:

$$?BAD + ?BAD = 180°$$

$$2 \cdot ?BAD = 180°$$

$$?BAD = \frac{180°}{2} = 90°$$

По определению, параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Поскольку в параллелограмме $ABCD$ мы нашли прямой угол ($?BAD = 90°$), то и все остальные его углы будут прямыми. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

1044 Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки M плоскости справедливо равенство

AM² + СМ² = ВМ² + DM².

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы его вершина $A$ находилась в начале координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими:

$A(0, 0)$

$B(a, 0)$

$D(0, b)$

$C(a, b)$

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка на плоскости.

Воспользуемся формулой для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Выразим через координаты точек квадраты длин отрезков из доказываемого равенства.

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $A$:

$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $C$:

$CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $B$:

$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $D$:

$DM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$

Теперь подставим полученные выражения в левую и правую части исходного равенства $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$.

Вычислим левую часть равенства:

$AM^2 + CM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$AM^2 + CM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Вычислим правую часть равенства:

$BM^2 + DM^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$BM^2 + DM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ справедливо для любой точки $M$ на плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ доказано.