Номер 1042, страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1042, страница 260.

1042 Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB$ и $CD$ ($AB = CD$). Необходимо доказать, что ее диагонали $AC$ и $BD$ равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:
1. $AB = CD$ по определению равнобедренной трапеции.
2. Сторона $AD$ является общей.
3. Углы при основании равнобедренной трапеции равны, следовательно, $\angle BAD = \angle CDA$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие против равных углов: $AC = BD$.

Ответ: Утверждение доказано. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение

Формулировка обратного утверждения: Если в трапеции диагонали равны, то эта трапеция является равнобедренной.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), в которой диагонали равны: $AC = BD$. Необходимо доказать, что трапеция равнобедренная, то есть $AB = CD$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $AD \parallel BC$, то высоты, проведенные между этими параллельными прямыми, равны: $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$.

В них:
1. $AC = BD$ по условию.
2. $CK = BH$ как высоты трапеции.

По теореме Пифагора для $\triangle ACK$: $AK^2 = AC^2 - CK^2$.
По теореме Пифагора для $\triangle DBH$: $DH^2 = BD^2 - BH^2$.

Так как правые части этих равенств равны, то равны и левые: $AK^2 = DH^2$, откуда следует, что $AK = DH$ (поскольку длины отрезков — положительные величины).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В них:
1. $BH = CK$ как высоты трапеции.
2. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником (так как $BC \parallel HK$, $BH \perp AD$, $CK \perp AD$), поэтому $HK = BC$. Мы знаем, что $AK = DH$. При этом $AK = AH + HK$, а $DH = DK + HK$. Из $AH + HK = DK + HK$ следует, что $AH = DK$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по двум катетам ($AH = DK$ и $BH = CK$).

Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = DC$.

Следовательно, трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.