Номер 1036, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1036, страница 257.

1036 Курьер должен принести заказ из пекарни в магазин, кафе и столовую. Ему предоставили карту маршрута, масштаб которой 1:10 000 (рис. 316). Все пункты, в которых может находиться курьер, соединяют прямолинейные дороги. Пекарня находится ровно посередине отрезка, соединяющего кафе и столовую. Какое расстояние должен пройти курьер, чтобы быстрее доставить заказ и вернуться обратно в пекарню?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: определить координаты всех пунктов, найти кратчайший маршрут и рассчитать его реальную длину с учетом масштаба.

1. Определение координат точек на карте

Используя систему координат на рисунке, определим координаты заданных пунктов. За единицу измерения примем длину одной клетки (единичный отрезок).

• Кафе (К): $(-8; 1)$
• Столовая (С): $(8; 1)$
• Магазин (М): $(1; 7)$

2. Нахождение координат пекарни

По условию, пекарня (П) находится ровно посередине отрезка, соединяющего кафе и столовую. Найдем координаты середины отрезка КС по формулам: $x_П = \frac{x_К + x_С}{2}$ и $y_П = \frac{y_К + y_С}{2}$

$x_П = \frac{-8 + 8}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_П = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты пекарни (П) — $(0; 1)$.

3. Расчет расстояний между пунктами в единицах карты

Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• Расстояние от пекарни до кафе (ПК):
  $d_{ПК} = \sqrt{(-8 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$ ед.
• Расстояние от пекарни до столовой (ПС):
  $d_{ПС} = \sqrt{(8 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$ ед.
• Расстояние от пекарни до магазина (ПМ):
  $d_{ПМ} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$ ед.
• Расстояние от кафе до магазина (КМ):
  $d_{КМ} = \sqrt{(1 - (-8))^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117}$ ед.
• Расстояние от столовой до магазина (СМ):
  $d_{СМ} = \sqrt{(1 - 8)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$ ед.
• Расстояние от кафе до столовой (КС):
  $d_{КС} = \sqrt{(8 - (-8))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{16^2 + 0^2} = 16$ ед.

4. Определение кратчайшего маршрута

Курьер начинает путь в пекарне (П), должен посетить кафе (К), столовую (С) и магазин (М), а затем вернуться в пекарню (П). Существует несколько возможных последовательностей посещения пунктов. Сравним их общую длину:

Вариант 1: Пекарня > Кафе > Магазин > Столовая > Пекарня (и симметричный ему П>С>М>К>П)
Длина: $L_1 = d_{ПК} + d_{КМ} + d_{МС} + d_{СП} = 8 + \sqrt{117} + \sqrt{85} + 8 = 16 + \sqrt{117} + \sqrt{85}$
$L_1 \approx 16 + 10.82 + 9.22 = 36.04$ ед.

Вариант 2: Пекарня > Магазин > Кафе > Столовая > Пекарня (и симметричный ему П>М>С>К>П)
Длина: $L_2 = d_{ПМ} + d_{МК} + d_{КС} + d_{СП} = \sqrt{37} + \sqrt{117} + 16 + 8 = 24 + \sqrt{37} + \sqrt{117}$
$L_2 \approx 24 + 6.08 + 10.82 = 40.9$ ед.

Вариант 3: Пекарня > Кафе > Столовая > Магазин > Пекарня (и симметричный ему П>С>К>М>П)
Длина: $L_3 = d_{ПК} + d_{КС} + d_{СМ} + d_{МП} = 8 + 16 + \sqrt{85} + \sqrt{37} = 24 + \sqrt{85} + \sqrt{37}$
$L_3 \approx 24 + 9.22 + 6.08 = 39.3$ ед.

Сравнивая длины маршрутов ($36.04 < 39.3 < 40.9$), видим, что кратчайшим является первый вариант: Пекарня > Кафе > Магазин > Столовая > Пекарня (или в обратном порядке: Пекарня > Столовая > Магазин > Кафе > Пекарня).

5. Расчет реального расстояния

Определим, какому реальному расстоянию соответствует один единичный отрезок на карте.

• Из рисунка видно, что 1 см на карте равен 2 единичным отрезкам.
• Масштаб карты 1:10 000, это значит, что 1 см на карте соответствует 10 000 см в реальности.
• 10 000 см = 100 метров.
• Таким образом, 2 единичных отрезка на карте равны 100 метрам в реальности, а 1 единичный отрезок равен $100 / 2 = 50$ метрам.

Теперь переведем длину кратчайшего маршрута из единичных отрезков в метры, а затем в километры:
Длина в метрах: $L_{м} = (16 + \sqrt{117} + \sqrt{85}) \times 50 \approx 36.04 \times 50 \approx 1802$ м.
Длина в километрах: $L_{км} = 1802 / 1000 = 1.802$ км.

Округлим результат до десятых: 1.8 км.

Ответ: Курьер должен пройти расстояние примерно 1.8 км.