Номер 1032, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах - номер 1032, страница 257.

Условие.

1032 Найдите x, если: а) расстояние между точками А(2; 3) и В(x; 1) равно 2; б) расстояние между точками М₁(−1; x) и М₂(2х; 3) равно 7.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

а) Для решения задачи используем формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

По условию, даны точки $A(2; 3)$ и $B(x; 1)$, а расстояние $d$ между ними равно 2. Подставим эти значения в формулу:

$2 = \sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 3)^2}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$2^2 = \left(\sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 3)^2}\right)^2$

$4 = (x - 2)^2 + (-2)^2$

$4 = (x - 2)^2 + 4$

Теперь вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$(x - 2)^2 = 4 - 4$

$(x - 2)^2 = 0$

Это равенство выполняется только в том случае, если выражение в скобках равно нулю:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

б) Аналогично первому пункту, используем формулу расстояния для точек $M_1(-1; x)$ и $M_2(2x; 3)$, где расстояние $d$ равно 7.

$7 = \sqrt{(2x - (-1))^2 + (3 - x)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$7 = \sqrt{(2x + 1)^2 + (3 - x)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$7^2 = (2x + 1)^2 + (3 - x)^2$

$49 = (2x + 1)^2 + (3 - x)^2$

Раскроем скобки, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$49 = (4x^2 + 4x + 1) + (9 - 6x + x^2)$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$49 = (4x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (1 + 9)$

$49 = 5x^2 - 2x + 10$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 2x + 10 - 49 = 0$

$5x^2 - 2x - 39 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 28}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 28}{10} = \frac{-26}{10} = -2.6$

Ответ: $x = 3$ или $x = -2.6$.