Номер 1032, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1032, страница 257.

1032 Найдите x, если: а) расстояние между точками А(2; 3) и В(x; 1) равно 2; б) расстояние между точками М₁(−1; x) и М₂(2х; 3) равно 7.

а) Для решения задачи используем формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

По условию, даны точки $A(2; 3)$ и $B(x; 1)$, а расстояние $d$ между ними равно 2. Подставим эти значения в формулу:

$2 = \sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 3)^2}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$2^2 = \left(\sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 3)^2}\right)^2$

$4 = (x - 2)^2 + (-2)^2$

$4 = (x - 2)^2 + 4$

Теперь вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$(x - 2)^2 = 4 - 4$

$(x - 2)^2 = 0$

Это равенство выполняется только в том случае, если выражение в скобках равно нулю:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

б) Аналогично первому пункту, используем формулу расстояния для точек $M_1(-1; x)$ и $M_2(2x; 3)$, где расстояние $d$ равно 7.

$7 = \sqrt{(2x - (-1))^2 + (3 - x)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$7 = \sqrt{(2x + 1)^2 + (3 - x)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$7^2 = (2x + 1)^2 + (3 - x)^2$

$49 = (2x + 1)^2 + (3 - x)^2$

Раскроем скобки, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$49 = (4x^2 + 4x + 1) + (9 - 6x + x^2)$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$49 = (4x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (1 + 9)$

$49 = 5x^2 - 2x + 10$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 2x + 10 - 49 = 0$

$5x^2 - 2x - 39 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 28}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 28}{10} = \frac{-26}{10} = -2.6$

Ответ: $x = 3$ или $x = -2.6$.