Номер 1028, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1028, страница 257.

1028 Найдите периметр треугольника MNP, если M (4; 0), N (12; −2), Р (5; −9).

Для того чтобы найти периметр треугольника MNP, необходимо вычислить длины всех его сторон (MN, NP и MP) и сложить их. Длина отрезка (расстояние между двумя точками) на координатной плоскости с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нам даны координаты вершин треугольника: M(4; 0), N(12; -2), P(5; -9).

1. Найдем длину стороны MN.

Подставим координаты точек M(4; 0) и N(12; -2) в формулу:

$MN = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.

2. Найдем длину стороны NP.

Подставим координаты точек N(12; -2) и P(5; -9) в формулу:

$NP = \sqrt{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-9 + 2)^2} = \sqrt{49 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{2 \cdot 49} = 7\sqrt{2}$

3. Найдем длину стороны MP.

Подставим координаты точек M(4; 0) и P(5; -9) в формулу:

$MP = \sqrt{(5 - 4)^2 + (-9 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$

Корень из 82 не упрощается, так как 82 = 2 · 41, и нет множителей, являющихся полными квадратами.

4. Найдем периметр треугольника MNP.

Периметр $P_{MNP}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{MNP} = MN + NP + MP = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$

Поскольку подкоренные выражения различны, дальнейшее упрощение этого выражения невозможно.

Ответ: $2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$.