Номер 1033, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах - номер 1033, страница 257.

Условие.

1033 Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты:
а) А (0; 1), В (1; −4), С (5; 2);
б) А (−4; 1), В (−2; 4), С (0; 1).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

а)

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный, найдем длины его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин: $A(0; 1)$, $B(1; -4)$, $C(5; 2)$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

Поскольку $AB = AC = \sqrt{26}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Для нахождения площади треугольника $S_{ABC}$ воспользуемся формулой площади по координатам вершин: $S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |0(-4 - 2) + 1(2 - 1) + 5(1 - (-4))| = \frac{1}{2} |0 \cdot (-6) + 1 \cdot 1 + 5 \cdot 5| = \frac{1}{2} |0 + 1 + 25| = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$.

Ответ: Треугольник является равнобедренным, так как $AB=AC=\sqrt{26}$; его площадь равна 13.

б)

Найдем длины сторон треугольника с вершинами $A(-4; 1)$, $B(-2; 4)$, $C(0; 1)$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Поскольку $AB = BC = \sqrt{13}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Для нахождения площади заметим, что основание $AC$ лежит на горизонтальной прямой $y=1$, так как ординаты точек $A$ и $C$ совпадают. Длина основания $AC$ равна разности их абсцисс: $AC = |0 - (-4)| = 4$.

Высота $h$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, равна разности ординат точки $B$ и прямой $y=1$: $h = |y_B - 1| = |4 - 1| = 3$.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ равна половине произведения основания на высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Треугольник является равнобедренным, так как $AB=BC=\sqrt{13}$; его площадь равна 6.