Номер 1034, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1034, страница 257.

1034 Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если:
а) M (1; 1), N (6; 1), Р (7; 4), Q (2; 4);
б) M (−5; 1), N (−4; 4), Р (−1; 5), Q (−2; 2).

а)

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом, воспользуемся свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $MP$ и $NQ$ должны совпадать.

Найдём координаты середины диагонали $MP$. Обозначим её точкой $O_1$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_M+x_P}{2}$ и $y_O = \frac{y_M+y_P}{2}$.

Для $M(1; 1)$ и $P(7; 4)$ имеем:

$x_{O_1} = \frac{1+7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_1} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, середина $MP$ — это точка $O_1(4; 2.5)$.

Теперь найдём координаты середины диагонали $NQ$. Обозначим её точкой $O_2$.

Для $N(6; 1)$ и $Q(2; 4)$ имеем:

$x_{O_2} = \frac{6+2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_2} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, середина $NQ$ — это точка $O_2(4; 2.5)$.

Поскольку координаты середин диагоналей $MP$ и $NQ$ совпадают ($O_1 = O_2$), четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Теперь найдём длины его диагоналей $MP$ и $NQ$. Длина отрезка между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина диагонали $MP$:

$|MP| = \sqrt{(7-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Длина диагонали $NQ$:

$|NQ| = \sqrt{(2-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: длины диагоналей равны $3\sqrt{5}$ и $5$.

б)

Аналогично пункту а), докажем, что $MNPQ$ — параллелограмм, проверив, что середины его диагоналей $MP$ и $NQ$ совпадают.

Найдём координаты середины диагонали $MP$ с концами в точках $M(-5; 1)$ и $P(-1; 5)$.

$x_O = \frac{-5+(-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_O = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Середина $MP$ — точка с координатами $(-3; 3)$.

Найдём координаты середины диагонали $NQ$ с концами в точках $N(-4; 4)$ и $Q(-2; 2)$.

$x_O = \frac{-4+(-2)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_O = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Середина $NQ$ — точка с координатами $(-3; 3)$.

Координаты середин диагоналей совпадают, следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом.

Теперь найдём длины его диагоналей $MP$ и $NQ$ по формуле расстояния между двумя точками.

Длина диагонали $MP$:

$|MP| = \sqrt{(-1-(-5))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-1+5)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Длина диагонали $NQ$:

$|NQ| = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-2+4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: длины диагоналей равны $4\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$.