Номер 1035, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1035, страница 257.

1035 Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если:
а) А (−3; −1), В (1; −1), С (1; −3), D (−3; −3);
б) А (4; 1), В (3; 5), С (−1; 4), D (0; 0).

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, нужно показать, что он является параллелограммом, у которого есть прямой угол. Это можно сделать несколькими способами:

• Доказать, что противолежащие стороны параллельны (их угловые коэффициенты равны) и что смежные стороны перпендикулярны (произведение их угловых коэффициентов равно -1).
• Доказать, что противолежащие стороны равны по длине и что диагонали равны по длине.
• Доказать, что противолежащие стороны равны по длине и что выполняется теорема Пифагора для треугольника, образованного двумя смежными сторонами и диагональю.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

а) A(-3; -1), B(1; -1), C(1; -3), D(-3; -3)

1. Докажем, что ABCD – прямоугольник.
Найдем длины сторон четырехугольника по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$|AB| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$|BC| = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.
$|CD| = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$|DA| = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = \sqrt{4} = 2$.
Так как $|AB| = |CD| = 4$ и $|BC| = |DA| = 2$, противолежащие стороны четырехугольника равны. Следовательно, ABCD – параллелограмм.
Теперь проверим, есть ли у параллелограмма прямой угол. Найдем длину диагонали AC.
$|AC|^2 = (1 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2 = (4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:
$|AB|^2 + |BC|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.
Так как $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle B$.
Поскольку ABCD – параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

2. Найдем площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
$S_{ABCD} = |AB| \cdot |BC| = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Доказано, что ABCD является прямоугольником, его площадь равна 8.

б) A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0)

1. Докажем, что ABCD – прямоугольник.
Найдем угловые коэффициенты сторон четырехугольника по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AB} = \frac{5 - 1}{3 - 4} = \frac{4}{-1} = -4$.
$k_{BC} = \frac{4 - 5}{-1 - 3} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
$k_{CD} = \frac{0 - 4}{0 - (-1)} = \frac{-4}{1} = -4$.
$k_{DA} = \frac{1 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{4}$.
Так как $k_{AB} = k_{CD} = -4$, то сторона $AB$ параллельна стороне $CD$.
Так как $k_{BC} = k_{DA} = \frac{1}{4}$, то сторона $BC$ параллельна стороне $DA$.
Поскольку противолежащие стороны попарно параллельны, ABCD – параллелограмм.
Проверим, перпендикулярны ли смежные стороны. Найдем произведение их угловых коэффициентов.
$k_{AB} \cdot k_{BC} = (-4) \cdot \frac{1}{4} = -1$.
Так как произведение угловых коэффициентов сторон AB и BC равно -1, эти стороны перпендикулярны, то есть угол $\angle B$ прямой.
Поскольку ABCD – параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

2. Найдем площадь прямоугольника.
Найдем длины смежных сторон AB и BC.
$|AB| = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
$|BC| = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
$S_{ABCD} = |AB| \cdot |BC| = \sqrt{17} \cdot \sqrt{17} = 17$.

Ответ: Доказано, что ABCD является прямоугольником (в данном случае - квадратом), его площадь равна 17.