Номер 1030, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1030, страница 257.

1030 Точки В и С лежат соответственно на положительных полуосях Ох и Оу, а точка А лежит на отрицательной полуоси Ох, причём ОА = а, OB = b, OC = h. Найдите стороны АС и ВС треугольника ABC.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат, где начало O(0, 0) совпадает с точкой пересечения осей. Согласно условию, точка B лежит на положительной полуоси Ox, поэтому ее координаты B(b, 0), так как $OB = b$. Точка C лежит на положительной полуоси Oy, поэтому ее координаты C(0, h), так как $OC = h$. Точка A лежит на отрицательной полуоси Ox, поэтому ее координаты A(-a, 0), так как $OA = a$.

Теперь мы можем найти длины сторон AC и BC, рассматривая прямоугольные треугольники AOC и BOC, образованные точками и осями координат.

Сторона AC

Рассмотрим треугольник AOC. Так как оси координат Ox и Oy перпендикулярны, угол $\angle AOC$ является прямым ($90^\circ$), и, следовательно, треугольник AOC — прямоугольный. Его катетами являются отрезки OA и OC. Их длины известны из условия: $OA = a$ и $OC = h$. Сторона AC является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = OA^2 + OC^2$. Подставив известные значения, получим: $AC^2 = a^2 + h^2$. Отсюда, длина стороны AC равна: $AC = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Ответ: $AC = \sqrt{a^2 + h^2}$

Сторона BC

Аналогично рассмотрим треугольник BOC. Угол $\angle BOC$ также прямой, а значит, треугольник BOC — прямоугольный. Его катетами являются отрезки OB и OC, длины которых равны $OB = b$ и $OC = h$. Сторона BC является гипотенузой. Снова применим теорему Пифагора: $BC^2 = OB^2 + OC^2$. Подставив известные значения, получим: $BC^2 = b^2 + h^2$. Отсюда, длина стороны BC равна: $BC = \sqrt{b^2 + h^2}$.

Ответ: $BC = \sqrt{b^2 + h^2}$