Номер 1023, страница 256 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах - номер 1023, страница 256.

Условие.

1023 Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины M отрезка AB, заполните пустые клетки:

А	(2; −3)		(0; 1)	(0; 0)	(c; d)	(3; 5)	(3t + 5; 7)	(1; 3)
В	(−3; 1)	(4; 7)		(−3; 7)		(3; 8)	(t + 7; −7)
M		(−3; −2)	(3; −5)		(а; b)			(0; 0)

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся формулами для нахождения координат $ (x_M; y_M) $ середины $ M $ отрезка $ AB $, где концы отрезка имеют координаты $ A(x_A; y_A) $ и $ B(x_B; y_B) $:

$ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} $

$ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} $

Если известны координаты одного из концов отрезка (например, $A$) и его середины $M$, то координаты другого конца ($B$) можно найти, выразив их из этих формул:

$ x_B = 2x_M - x_A $

$ y_B = 2y_M - y_A $

Аналогично для нахождения координат точки $A$:

$ x_A = 2x_M - x_B $

$ y_A = 2y_M - y_B $

Заполним пустые клетки таблицы, решая задачу для каждого столбца.

Столбец 1

Дано: $ A(2; -3) $, $ B(-3; 1) $. Необходимо найти координаты середины отрезка $ M $.

Вычисляем координаты $ M $:

$ x_M = \frac{2 + (-3)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 $

$ y_M = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

Ответ: $ M(-0.5; -1) $

Столбец 2

Дано: $ B(4; 7) $, $ M(-3; -2) $. Необходимо найти координаты точки $ A $.

Вычисляем координаты $ A $:

$ x_A = 2x_M - x_B = 2 \cdot (-3) - 4 = -6 - 4 = -10 $

$ y_A = 2y_M - y_B = 2 \cdot (-2) - 7 = -4 - 7 = -11 $

Ответ: $ A(-10; -11) $

Столбец 3

Дано: $ A(0; 1) $, $ M(3; -5) $. Необходимо найти координаты точки $ B $.

Вычисляем координаты $ B $:

$ x_B = 2x_M - x_A = 2 \cdot 3 - 0 = 6 $

$ y_B = 2y_M - y_A = 2 \cdot (-5) - 1 = -10 - 1 = -11 $

Ответ: $ B(6; -11) $

Столбец 4

Дано: $ A(0; 0) $, $ B(-3; 7) $. Необходимо найти координаты середины отрезка $ M $.

Вычисляем координаты $ M $:

$ x_M = \frac{0 + (-3)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5 $

$ y_M = \frac{0 + 7}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 $

Ответ: $ M(-1.5; 3.5) $

Столбец 5

Дано: $ A(c; d) $, $ M(a; b) $. Необходимо найти координаты точки $ B $.

Выражаем координаты $ B $ через переменные:

$ x_B = 2x_M - x_A = 2a - c $

$ y_B = 2y_M - y_A = 2b - d $

Ответ: $ B(2a - c; 2b - d) $

Столбец 6

Дано: $ A(3; 5) $, $ B(3; 8) $. Необходимо найти координаты середины отрезка $ M $.

Вычисляем координаты $ M $:

$ x_M = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

$ y_M = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 $

Ответ: $ M(3; 6.5) $

Столбец 7

Дано: $ A(3t + 5; 7) $, $ B(t + 7; -7) $. Необходимо найти координаты середины отрезка $ M $.

Вычисляем координаты $ M $:

$ x_M = \frac{(3t + 5) + (t + 7)}{2} = \frac{4t + 12}{2} = 2t + 6 $

$ y_M = \frac{7 + (-7)}{2} = \frac{0}{2} = 0 $

Ответ: $ M(2t + 6; 0) $

Столбец 8

Дано: $ A(1; 3) $, $ M(0; 0) $. Необходимо найти координаты точки $ B $.

Вычисляем координаты $ B $:

$ x_B = 2x_M - x_A = 2 \cdot 0 - 1 = -1 $

$ y_B = 2y_M - y_A = 2 \cdot 0 - 3 = -3 $

Ответ: $ B(-1; -3) $