Номер 1016, страница 255 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1016, страница 255.

1016 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин: а) треугольника ABО, если ОА = 5, ОВ = 3; б) прямоугольника ОАСВ, если ОА = а, ОВ = b.

а) треугольника ABO, если OA=5, OB=3;

По условию задачи, точка O является началом координат в прямоугольной системе координат, поэтому ее координаты $O(0; 0)$.
Точка A лежит на положительной полуоси Ox. Это означает, что ее координата $y$ равна нулю. Расстояние от начала координат до точки A равно длине отрезка OA, то есть $OA=5$. Так как точка A находится на положительной полуоси, ее координата $x$ будет положительной и равной 5. Таким образом, координаты точки A: $A(5; 0)$.
Точка B лежит на положительной полуоси Oy. Это означает, что ее координата $x$ равна нулю. Расстояние от начала координат до точки B равно длине отрезка OB, то есть $OB=3$. Так как точка B находится на положительной полуоси, ее координата $y$ будет положительной и равной 3. Таким образом, координаты точки B: $B(0; 3)$.
Координаты вершин треугольника ABO найдены.
Ответ: $O(0; 0)$, $A(5; 0)$, $B(0; 3)$.

б) прямоугольника OACB, если OA=a, OB=b.

Аналогично предыдущему пункту, определим координаты вершин O, A и B.
Точка O — начало координат, ее координаты $O(0; 0)$.
Точка A лежит на положительной полуоси Ox, и расстояние $OA = a$. Следовательно, координаты точки A: $A(a; 0)$.
Точка B лежит на положительной полуоси Oy, и расстояние $OB = b$. Следовательно, координаты точки B: $B(0; b)$.
Фигура OACB является прямоугольником. Так как отрезки OA и OB лежат на осях координат Ox и Oy соответственно, которые перпендикулярны друг другу, то стороны прямоугольника параллельны осям координат. В таком прямоугольнике координаты четвертой вершины C определяются координатами вершин A и B. Координата $x$ точки C будет такой же, как у точки A (так как AC параллельна оси Oy), а координата $y$ будет такой же, как у точки B (так как BC параллельна оси Ox).
Таким образом, координаты точки C: $C(a; b)$.
Также можно воспользоваться правилом параллелограмма (прямоугольник является частным случаем параллелограмма). Вектор $\vec{OC}$ равен сумме векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.
$\vec{OA} = (a-0; 0-0) = (a; 0)$
$\vec{OB} = (0-0; b-0) = (0; b)$
$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = (a+0; 0+b) = (a; b)$.
Координаты точки C совпадают с координатами вектора $\vec{OC}$, то есть $C(a; b)$.
Координаты вершин прямоугольника OACB найдены.
Ответ: $O(0; 0)$, $A(a; 0)$, $C(a; b)$, $B(0; b)$.