Номер 1014, страница 252 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 1014, страница 252.

1014 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.

Пусть даны два коллинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Зададим их координаты в пространстве (доказательство для векторов на плоскости с двумя координатами будет аналогичным):

$\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$

$\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для ненулевых векторов это означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр) $k$. Таким образом, существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство:

$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$

Рассмотрим два возможных случая:

1. Вектор $\vec{b}$ является нулевым, то есть $\vec{b} = \vec{0} = \{0; 0; 0\}$. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Из равенства $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ следует, что $\vec{a} = k \cdot \vec{0} = \vec{0}$. В этом случае координаты обоих векторов равны нулю, $\{0; 0; 0\}$ и $\{0; 0; 0\}$, и, следовательно, пропорциональны (например, $0 = k \cdot 0$ для любого $k$).

2. Вектор $\vec{b}$ не является нулевым ($\vec{b} \ne \vec{0}$). Из векторного равенства $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ следует равенство их соответствующих координат:

$\{a_1; a_2; a_3\} = k \cdot \{b_1; b_2; b_3\} = \{k b_1; k b_2; k b_3\}$

Отсюда мы получаем систему равенств:

$a_1 = k b_1$

$a_2 = k b_2$

$a_3 = k b_3$

Эти равенства по определению означают, что координаты вектора $\vec{a}$ пропорциональны соответствующим координатам вектора $\vec{b}$ с коэффициентом пропорциональности $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Формулировка обратного утверждения: Если координаты одного вектора пропорциональны соответствующим координатам другого вектора, то эти два вектора коллинеарны.

Доказательство:

Пусть даны два вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$, и их координаты пропорциональны. По определению пропорциональности, это означает, что существует такое число $k$, для которого выполняются равенства:

$a_1 = k b_1$

$a_2 = k b_2$

$a_3 = k b_3$

Рассмотрим два возможных случая:

1. Вектор $\vec{b}$ — нулевой ($\vec{b} = \vec{0}$), то есть его координаты $b_1=0, b_2=0, b_3=0$. Из условия пропорциональности следует, что $a_1=k \cdot 0=0$, $a_2=k \cdot 0=0$, $a_3=k \cdot 0=0$. Следовательно, $\vec{a}$ также является нулевым вектором. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, поэтому векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

2. Вектор $\vec{b}$ — ненулевой ($\vec{b} \ne \vec{0}$). Мы можем записать систему равенств для координат в векторном виде:

$\{a_1; a_2; a_3\} = \{k b_1; k b_2; k b_3\}$

Вынося общий множитель $k$ в правой части, получаем:

$\{a_1; a_2; a_3\} = k \cdot \{b_1; b_2; b_3\}$

Это равенство в векторной форме выглядит как $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.

Согласно определению, если для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, то эти векторы коллинеарны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано. Если координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.