Страница 252 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1006 Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, b = −12i + 2j, с = 8i, d = i − j, e = −2j, f = −i.

Координаты вектора, представленного в виде разложения по единичным координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$, определяются коэффициентами при этих векторах. Если вектор $\vec{v}$ записан в виде $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$, то его координаты равны $\{x; y\}$, где $x$ — это коэффициент при $\vec{i}$ (абсцисса), а $y$ — коэффициент при $\vec{j}$ (ордината).

$\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$

В разложении вектора $\vec{a}$ коэффициент при $\vec{i}$ равен 2, а коэффициент при $\vec{j}$ равен 3. Таким образом, координаты вектора $\vec{a}$ — это $\{2; 3\}$.

Ответ: $\vec{a}\{2; 3\}$.

$\vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{i} + 2\vec{j}$

В разложении вектора $\vec{b}$ коэффициент при $\vec{i}$ равен $-\frac{1}{2}$, а коэффициент при $\vec{j}$ равен 2. Таким образом, координаты вектора $\vec{b}$ — это $\{-\frac{1}{2}; 2\}$.

Ответ: $\vec{b}\{-\frac{1}{2}; 2\}$.

$\vec{c} = 8\vec{i}$

В данном выражении отсутствует слагаемое с вектором $\vec{j}$. Это означает, что коэффициент при $\vec{j}$ равен 0. Вектор можно записать как $\vec{c} = 8\vec{i} + 0\vec{j}$. Коэффициент при $\vec{i}$ равен 8, а при $\vec{j}$ — 0. Таким образом, координаты вектора $\vec{c}$ — это $\{8; 0\}$.

Ответ: $\vec{c}\{8; 0\}$.

$\vec{d} = \vec{i} - \vec{j}$

Вектор $\vec{d}$ можно записать в виде $\vec{d} = 1\vec{i} + (-1)\vec{j}$. Коэффициент при $\vec{i}$ равен 1, а коэффициент при $\vec{j}$ равен -1. Таким образом, координаты вектора $\vec{d}$ — это $\{1; -1\}$.

Ответ: $\vec{d}\{1; -1\}$.

$\vec{e} = -2\vec{j}$

В данном выражении отсутствует слагаемое с вектором $\vec{i}$. Это означает, что коэффициент при $\vec{i}$ равен 0. Вектор можно записать как $\vec{e} = 0\vec{i} - 2\vec{j}$. Коэффициент при $\vec{i}$ равен 0, а при $\vec{j}$ — -2. Таким образом, координаты вектора $\vec{e}$ — это $\{0; -2\}$.

Ответ: $\vec{e}\{0; -2\}$.

$\vec{f} = -\vec{i}$

Вектор $\vec{f}$ можно записать как $\vec{f} = -1\vec{i} + 0\vec{j}$. Коэффициент при $\vec{i}$ равен -1, а коэффициент при $\vec{j}$ равен 0. Таким образом, координаты вектора $\vec{f}$ — это $\{-1; 0\}$.

Ответ: $\vec{f}\{-1; 0\}$.

1007 Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора: а) х {−3; 15}; б) y {−2; −3}; в) z {−1; 0}; г) u {0; 3}; д) v {0; 1}.

Разложение произвольного вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_a; y_a\}$ по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ представляет собой выражение вида $\vec{a} = x_a\vec{i} + y_a\vec{j}$. В этом выражении $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$ — это единичные векторы (орты), направленные вдоль осей координат Ox и Oy соответственно. Коэффициенты при векторах $\vec{i}$ и $\vec{j}$ в разложении равны соответствующим координатам исходного вектора.

а) Вектор $\vec{x}$ имеет координаты $\{-3; \frac{1}{5}\}$. Его первая координата (абсцисса) равна $-3$, а вторая координата (ордината) равна $\frac{1}{5}$. Чтобы записать разложение этого вектора по координатным векторам, нужно умножить вектор $\vec{i}$ на абсциссу, а вектор $\vec{j}$ — на ординату, и сложить полученные произведения.
Таким образом, получаем: $\vec{x} = -3 \cdot \vec{i} + \frac{1}{5} \cdot \vec{j}$.
Ответ: $\vec{x} = -3\vec{i} + \frac{1}{5}\vec{j}$.

б) Вектор $\vec{y}$ имеет координаты $\{-2; -3\}$. Его абсцисса равна $-2$, а ордината равна $-3$. Разложение по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ будет выглядеть как сумма произведения абсциссы на вектор $\vec{i}$ и произведения ординаты на вектор $\vec{j}$.
Получаем: $\vec{y} = -2 \cdot \vec{i} + (-3) \cdot \vec{j} = -2\vec{i} - 3\vec{j}$.
Ответ: $\vec{y} = -2\vec{i} - 3\vec{j}$.

в) Координаты вектора $\vec{z}$ равны $\{-1; 0\}$. Абсцисса равна $-1$, а ордината равна $0$. Следуя общему правилу разложения, получаем: $\vec{z} = -1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}$. Так как умножение на ноль дает ноль, второе слагаемое исчезает ($0 \cdot \vec{j} = \vec{0}$). Умножение на $-1$ можно записать как просто знак минус.
Таким образом, разложение упрощается до $\vec{z} = -\vec{i}$.
Ответ: $\vec{z} = -\vec{i}$.

г) Вектор $\vec{u}$ задан координатами $\{0; 3\}$. Его абсцисса равна $0$, а ордината равна $3$. Разложение по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ имеет вид: $\vec{u} = 0 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j}$.
Первое слагаемое равно нулевому вектору ($0 \cdot \vec{i} = \vec{0}$), поэтому разложение упрощается до $\vec{u} = 3\vec{j}$.
Ответ: $\vec{u} = 3\vec{j}$.

д) Координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{0; 1\}$. Абсцисса равна $0$, а ордината равна $1$. Записываем разложение: $\vec{v} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j}$.
Первое слагаемое равно нулевому вектору, а умножение на $1$ не меняет вектор. В результате получаем $\vec{v} = \vec{j}$. Этот вектор совпадает с координатным вектором $\vec{j}$.
Ответ: $\vec{v} = \vec{j}$.

1008 Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию: а) xi + yj = = 5i − 2j; б) −3i + yj = xi + 7j; в) xi + yj = −4i; г) xi + yj = 0.

а)

Дано векторное уравнение: $x\vec{i} + y\vec{j} = 5\vec{i} - 2\vec{j}$.

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Векторы в уравнении представлены в виде разложения по стандартному ортонормированному базису, состоящему из векторов $\vec{i}$ и $\vec{j}$. Равенство векторов означает равенство коэффициентов при соответствующих базисных векторах.

Приравнивая коэффициенты при векторе $\vec{i}$ в левой и правой частях, получаем: $x = 5$.

Приравнивая коэффициенты при векторе $\vec{j}$, получаем: $y = -2$.

Ответ: $x=5, y=-2$.

б)

Дано векторное уравнение: $-3\vec{i} + y\vec{j} = x\vec{i} + 7\vec{j}$.

Используя условие равенства векторов, приравняем коэффициенты при одинаковых базисных векторах $\vec{i}$ и $\vec{j}$.

Из равенства коэффициентов при $\vec{i}$ следует: $x = -3$.

Из равенства коэффициентов при $\vec{j}$ следует: $y = 7$.

Ответ: $x=-3, y=7$.

в)

Дано векторное уравнение: $x\vec{i} + y\vec{j} = -4\vec{i}$.

В правой части уравнения отсутствует слагаемое с вектором $\vec{j}$. Это означает, что коэффициент при $\vec{j}$ равен нулю. Уравнение можно переписать в виде: $x\vec{i} + y\vec{j} = -4\vec{i} + 0\vec{j}$.

Теперь приравняем коэффициенты при базисных векторах.

Для вектора $\vec{i}$: $x = -4$.

Для вектора $\vec{j}$: $y = 0$.

Ответ: $x=-4, y=0$.

г)

Дано векторное уравнение: $x\vec{i} + y\vec{j} = \vec{0}$.

Нулевой вектор $\vec{0}$ — это вектор, обе координаты которого равны нулю. Его разложение по базису $\vec{i}, \vec{j}$ имеет вид $\vec{0} = 0\vec{i} + 0\vec{j}$.

Подставим это в исходное уравнение: $x\vec{i} + y\vec{j} = 0\vec{i} + 0\vec{j}$.

Приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получаем:

Для вектора $\vec{i}$: $x = 0$.

Для вектора $\vec{j}$: $y = 0$.

Ответ: $x=0, y=0$.

1009 Найдите координаты вектора а + b, если: а) a {3; 2}, b {2; 5}; б) a {3; −4}, b {1; 5}; в) a {−4; −2}, b {5; 3}; г) a {2; 7}, b {−3; −7}.

Чтобы найти координаты вектора, который является суммой двух других векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты. Общее правило гласит: если есть вектор $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и вектор $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то координаты их суммы $\vec{a} + \vec{b}$ вычисляются по формуле $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$.

Применим это правило для каждого из подпунктов.

а) Даны векторы $\vec{a}\{3; 2\}$ и $\vec{b}\{2; 5\}$.
Координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равны сумме соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = \{3 + 2; 2 + 5\} = \{5; 7\}$.
Ответ: $\{5; 7\}$

б) Даны векторы $\vec{a}\{3; -4\}$ и $\vec{b}\{1; 5\}$.
Найдем координаты их суммы:
$\vec{a} + \vec{b} = \{3 + 1; -4 + 5\} = \{4; 1\}$.
Ответ: $\{4; 1\}$

в) Даны векторы $\vec{a}\{-4; -2\}$ и $\vec{b}\{5; 3\}$.
Найдем координаты их суммы:
$\vec{a} + \vec{b} = \{-4 + 5; -2 + 3\} = \{1; 1\}$.
Ответ: $\{1; 1\}$

г) Даны векторы $\vec{a}\{2; 7\}$ и $\vec{b}\{-3; -7\}$.
Найдем координаты их суммы:
$\vec{a} + \vec{b} = \{2 + (-3); 7 + (-7)\} = \{2 - 3; 7 - 7\} = \{-1; 0\}$.
Ответ: $\{-1; 0\}$

1010 Найдите координаты вектора а − b, если: а) а {5; 3}, b {2; 1}; б) a {3; 2}, b {−3; 2}; в) a {3; 6}, b {4; −3}; г) a {−5; −6}, b {2; −4}.

Чтобы найти координаты вектора, являющегося разностью двух векторов $\vec{a}\{x_a; y_a\}$ и $\vec{b}\{x_b; y_b\}$, необходимо из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго вектора. Формула для вычисления координат вектора $\vec{a} - \vec{b}$ выглядит следующим образом:

$\vec{a} - \vec{b} = \{x_a - x_b; y_a - y_b\}$

Применим это правило для каждого из заданных случаев.

а) Даны векторы $\vec{a}\{5; 3\}$ и $\vec{b}\{2; 1\}$.

Найдём координаты вектора разности:

$\vec{a} - \vec{b} = \{5 - 2; 3 - 1\} = \{3; 2\}$.

Ответ: $\{3; 2\}$

б) Даны векторы $\vec{a}\{3; 2\}$ и $\vec{b}\{-3; 2\}$.

Найдём координаты вектора разности:

$\vec{a} - \vec{b} = \{3 - (-3); 2 - 2\} = \{3 + 3; 0\} = \{6; 0\}$.

Ответ: $\{6; 0\}$

в) Даны векторы $\vec{a}\{3; 6\}$ и $\vec{b}\{4; -3\}$.

Найдём координаты вектора разности:

$\vec{a} - \vec{b} = \{3 - 4; 6 - (-3)\} = \{-1; 6 + 3\} = \{-1; 9\}$.

Ответ: $\{-1; 9\}$

г) Даны векторы $\vec{a}\{-5; -6\}$ и $\vec{b}\{2; -4\}$.

Найдём координаты вектора разности:

$\vec{a} - \vec{b} = \{-5 - 2; -6 - (-4)\} = \{-7; -6 + 4\} = \{-7; -2\}$.

Ответ: $\{-7; -2\}$

1011 Найдите координаты векторов 2а, 3а, −а, −3а, если a {3; 2}.

Чтобы найти координаты вектора, полученного умножением исходного вектора на число (скаляр), необходимо каждую координату исходного вектора умножить на это число. Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{x; y\}$, то вектор $k\vec{a}$ будет иметь координаты $\{k \cdot x; k \cdot y\}$.

В данной задаче задан вектор $\vec{a}\{3; 2\}$. Найдем координаты требуемых векторов.

$2\vec{a}$

Для нахождения координат вектора $2\vec{a}$ умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на скаляр 2:

$2\vec{a} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot 2\} = \{6; 4\}$

Ответ: $2\vec{a}\{6; 4\}$.

$3\vec{a}$

Для нахождения координат вектора $3\vec{a}$ умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на скаляр 3:

$3\vec{a} = \{3 \cdot 3; 3 \cdot 2\} = \{9; 6\}$

Ответ: $3\vec{a}\{9; 6\}$.

$-\vec{a}$

Вектор $-\vec{a}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр -1. Умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на -1:

$-\vec{a} = \{-1 \cdot 3; -1 \cdot 2\} = \{-3; -2\}$

Ответ: $-\vec{a}\{-3; -2\}$.

$-3\vec{a}$

Для нахождения координат вектора $-3\vec{a}$ умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на скаляр -3:

$-3\vec{a} = \{-3 \cdot 3; -3 \cdot 2\} = \{-9; -6\}$

Ответ: $-3\vec{a}\{-9; -6\}$.

1012 Даны векторы a {2; 4}, b {−2; 0}, c {0; 0}, d {−2; −3}, е (2; −3}, f {0, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным.

Вектор, противоположный данному вектору $\vec{v} \{x; y\}$, обозначается как $-\vec{v}$ и имеет координаты $\{-x; -y\}$. Чтобы найти координаты вектора, противоположного данному, необходимо изменить знаки его координат на противоположные.

Для вектора $\vec{a} \{2; 4\}$

Координаты вектора, противоположного вектору $\vec{a}$, получаются сменой знаков его координат.
$-\vec{a} = \{-2; -4\}$

Ответ: $\{-2; -4\}$

Для вектора $\vec{b} \{-2; 0\}$

Координаты вектора, противоположного вектору $\vec{b}$, равны $\{-(-2); -0\}$.
$-\vec{b} = \{2; 0\}$

Ответ: $\{2; 0\}$

Для вектора $\vec{c} \{0; 0\}$

Координаты вектора, противоположного вектору $\vec{c}$ (нулевому вектору), равны $\{-0; -0\}$. Нулевой вектор противоположен самому себе.
$-\vec{c} = \{0; 0\}$

Ответ: $\{0; 0\}$

Для вектора $\vec{d} \{-2; -3\}$

Координаты вектора, противоположного вектору $\vec{d}$, равны $\{-(-2); -(-3)\}$.
$-\vec{d} = \{2; 3\}$

Ответ: $\{2; 3\}$

Для вектора $\vec{e} \{2; -3\}$

Координаты вектора, противоположного вектору $\vec{e}$, равны $\{-2; -(-3)\}$.
$-\vec{e} = \{-2; 3\}$

Ответ: $\{-2; 3\}$

Для вектора $\vec{f} \{0; 5\}$

Координаты вектора, противоположного вектору $\vec{f}$, равны $\{-0; -5\}$.
$-\vec{f} = \{0; -5\}$

Ответ: $\{0; -5\}$

1013 Найдите координаты вектора v, если:

а) v = 3а − 3b, a {2; −5}, b {−5; 2};

б) v = 2a − 3b + 4c, a {4; 1}, b {1; 2}, c {2; 7};

в) v = 3a − 2b − 12c, а {−7; −1}, b {−1; 7}, c {4; −6};

г) v = a − b − c, а {7; −2}, b {2; 5}, c {−3; 3}.

а)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = 3\vec{a} - 3\vec{b}$ необходимо выполнить соответствующие операции с координатами векторов $\vec{a}\{2; -5\}$ и $\vec{b}\{-5; 2\}$. Координаты вектора $\vec{v}\{v_x; v_y\}$ вычисляются как линейная комбинация соответствующих координат исходных векторов.

Вычислим координату $v_x$:

$v_x = 3 \cdot a_x - 3 \cdot b_x = 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-5) = 6 + 15 = 21$

Вычислим координату $v_y$:

$v_y = 3 \cdot a_y - 3 \cdot b_y = 3 \cdot (-5) - 3 \cdot 2 = -15 - 6 = -21$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{21; -21\}$.

Ответ: $\vec{v}\{21; -21\}$

б)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = 2\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}$ применим правила линейных операций над векторами в координатах. Даны векторы $\vec{a}\{4; 1\}$, $\vec{b}\{1; 2\}$ и $\vec{c}\{2; 7\}$.

Вычислим координату $v_x$ вектора $\vec{v}$:

$v_x = 2 \cdot a_x - 3 \cdot b_x + 4 \cdot c_x = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 8 - 3 + 8 = 13$

Вычислим координату $v_y$ вектора $\vec{v}$:

$v_y = 2 \cdot a_y - 3 \cdot b_y + 4 \cdot c_y = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 7 = 2 - 6 + 28 = 24$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{13; 24\}$.

Ответ: $\vec{v}\{13; 24\}$

в)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = 3\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$ воспользуемся правилами операций с векторами в координатной форме. Даны векторы $\vec{a}\{-7; -1\}$, $\vec{b}\{-1; 7\}$ и $\vec{c}\{4; -6\}$.

Вычислим координату $v_x$ вектора $\vec{v}$:

$v_x = 3 \cdot a_x - 2 \cdot b_x - \frac{1}{2} \cdot c_x = 3 \cdot (-7) - 2 \cdot (-1) - \frac{1}{2} \cdot 4 = -21 + 2 - 2 = -21$

Вычислим координату $v_y$ вектора $\vec{v}$:

$v_y = 3 \cdot a_y - 2 \cdot b_y - \frac{1}{2} \cdot c_y = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 7 - \frac{1}{2} \cdot (-6) = -3 - 14 + 3 = -14$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{-21; -14\}$.

Ответ: $\vec{v}\{-21; -14\}$

г)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ применим правила сложения и вычитания векторов в координатах. Даны векторы $\vec{a}\{7; -2\}$, $\vec{b}\{2; 5\}$ и $\vec{c}\{-3; 3\}$.

Вычислим координату $v_x$ вектора $\vec{v}$:

$v_x = a_x - b_x - c_x = 7 - 2 - (-3) = 5 + 3 = 8$

Вычислим координату $v_y$ вектора $\vec{v}$:

$v_y = a_y - b_y - c_y = -2 - 5 - 3 = -7 - 3 = -10$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{8; -10\}$.

Ответ: $\vec{v}\{8; -10\}$

1014 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.

Пусть даны два коллинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Зададим их координаты в пространстве (доказательство для векторов на плоскости с двумя координатами будет аналогичным):

$\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$

$\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для ненулевых векторов это означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр) $k$. Таким образом, существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство:

$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$

Рассмотрим два возможных случая:

1. Вектор $\vec{b}$ является нулевым, то есть $\vec{b} = \vec{0} = \{0; 0; 0\}$. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Из равенства $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ следует, что $\vec{a} = k \cdot \vec{0} = \vec{0}$. В этом случае координаты обоих векторов равны нулю, $\{0; 0; 0\}$ и $\{0; 0; 0\}$, и, следовательно, пропорциональны (например, $0 = k \cdot 0$ для любого $k$).

2. Вектор $\vec{b}$ не является нулевым ($\vec{b} \ne \vec{0}$). Из векторного равенства $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ следует равенство их соответствующих координат:

$\{a_1; a_2; a_3\} = k \cdot \{b_1; b_2; b_3\} = \{k b_1; k b_2; k b_3\}$

Отсюда мы получаем систему равенств:

$a_1 = k b_1$

$a_2 = k b_2$

$a_3 = k b_3$

Эти равенства по определению означают, что координаты вектора $\vec{a}$ пропорциональны соответствующим координатам вектора $\vec{b}$ с коэффициентом пропорциональности $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Формулировка обратного утверждения: Если координаты одного вектора пропорциональны соответствующим координатам другого вектора, то эти два вектора коллинеарны.

Доказательство:

Пусть даны два вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$, и их координаты пропорциональны. По определению пропорциональности, это означает, что существует такое число $k$, для которого выполняются равенства:

$a_1 = k b_1$

$a_2 = k b_2$

$a_3 = k b_3$

Рассмотрим два возможных случая:

1. Вектор $\vec{b}$ — нулевой ($\vec{b} = \vec{0}$), то есть его координаты $b_1=0, b_2=0, b_3=0$. Из условия пропорциональности следует, что $a_1=k \cdot 0=0$, $a_2=k \cdot 0=0$, $a_3=k \cdot 0=0$. Следовательно, $\vec{a}$ также является нулевым вектором. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, поэтому векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

2. Вектор $\vec{b}$ — ненулевой ($\vec{b} \ne \vec{0}$). Мы можем записать систему равенств для координат в векторном виде:

$\{a_1; a_2; a_3\} = \{k b_1; k b_2; k b_3\}$

Вынося общий множитель $k$ в правой части, получаем:

$\{a_1; a_2; a_3\} = k \cdot \{b_1; b_2; b_3\}$

Это равенство в векторной форме выглядит как $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.

Согласно определению, если для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, то эти векторы коллинеарны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано. Если координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

1015 Даны векторы а {3; 7}, b {−2; 1}, c {6; 14}, d {2; −1}, е {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.

Два ненулевых вектора на плоскости $\vec{u}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{v}\{x_2; y_2\}$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Условие пропорциональности координат можно записать в виде равенства отношений: $$ \frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = k $$ (при условии, что $x_1 \neq 0$ и $y_1 \neq 0$).

Даны векторы: $\vec{a}\{3; 7\}$, $\vec{b}\{-2; 1\}$, $\vec{c}\{6; 14\}$, $\vec{d}\{2; -1\}$, $\vec{e}\{2; 4\}$.

Проверим попарно все векторы на коллинеарность, находя отношения их соответствующих координат.

Пара векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$
Сравним векторы $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{c}\{6; 14\}$.
Отношение x-координат: $\frac{6}{3} = 2$.
Отношение y-координат: $\frac{14}{7} = 2$.
Так как отношения равны ($2=2$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Выполняется равенство $\vec{c} = 2\vec{a}$.

Пара векторов $\vec{b}$ и $\vec{d}$
Сравним векторы $\vec{b}\{-2; 1\}$ и $\vec{d}\{2; -1\}$.
Отношение x-координат: $\frac{2}{-2} = -1$.
Отношение y-координат: $\frac{-1}{1} = -1$.
Так как отношения равны ($-1=-1$), векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ коллинеарны. Выполняется равенство $\vec{d} = -1 \cdot \vec{b}$.

Проверка других пар
Для остальных пар векторов условие коллинеарности не выполняется. Например, для векторов $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{e}\{2; 4\}$:
$\frac{2}{3} \neq \frac{4}{7}$, так как $2 \cdot 7 \neq 3 \cdot 4$ ($14 \neq 12$).
Аналогично, можно убедиться, что другие пары, например ($\vec{a}$ и $\vec{b}$), ($\vec{c}$ и $\vec{e}$), не являются коллинеарными.

Ответ: попарно коллинеарными являются следующие пары векторов: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.