Страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

991 На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответственно точки X и Y так, что MXXN = 32 и NYYP = 32. Выразите векторы XY и МР через векторы a = NM и b = NP.

В задаче даны треугольник $MNP$, точки $X$ на $MN$ и $Y$ на $NP$, базисные векторы $\vec{a} = \vec{NM}$ и $\vec{b} = \vec{NP}$, а также соотношения $\frac{MX}{XN} = \frac{3}{2}$ и $\frac{NY}{YP} = \frac{3}{2}$.

Выражение вектора $\vec{XY}$

Для выражения вектора $\vec{XY}$ воспользуемся правилом сложения векторов, представив его как сумму векторов, идущих по сторонам треугольника $XNY$: $\vec{XY} = \vec{XN} + \vec{NY}$.

Найдем вектор $\vec{XN}$. Точка $X$ делит сторону $MN$ в отношении $MX:XN = 3:2$. Это значит, что длина отрезка $XN$ составляет $\frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ от длины всего отрезка $MN$. Вектор $\vec{XN}$ сонаправлен с вектором $\vec{MN}$. Вектор $\vec{MN}$ противоположен вектору $\vec{NM}$, поэтому $\vec{MN} = -\vec{NM} = -\vec{a}$. Таким образом, получаем: $\vec{XN} = \frac{2}{5}\vec{MN} = \frac{2}{5}(-\vec{a}) = -\frac{2}{5}\vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{NY}$. Точка $Y$ делит сторону $NP$ в отношении $NY:YP = 3:2$. Это значит, что длина отрезка $NY$ составляет $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ от длины всего отрезка $NP$. Вектор $\vec{NY}$ сонаправлен с вектором $\vec{NP}$. По условию $\vec{NP} = \vec{b}$. Таким образом, получаем: $\vec{NY} = \frac{3}{5}\vec{NP} = \frac{3}{5}\vec{b}$.

Подставим найденные выражения для векторов $\vec{XN}$ и $\vec{NY}$ в исходную формулу: $\vec{XY} = -\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{XY} = \frac{3}{5}\vec{b} - \frac{2}{5}\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{MP}$

Для выражения вектора $\vec{MP}$ воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов: $\vec{MP} = \vec{MN} + \vec{NP}$.

Нам известны векторы $\vec{a} = \vec{NM}$ и $\vec{b} = \vec{NP}$. Выразим векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$ через них. Вектор $\vec{MN}$ является противоположным к вектору $\vec{NM}$, следовательно, $\vec{MN} = -\vec{NM} = -\vec{a}$. Вектор $\vec{NP}$ дан по условию: $\vec{NP} = \vec{b}$.

Теперь подставим эти выражения в правило треугольника: $\vec{MP} = -\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{MP} = \vec{b} - \vec{a}$

992 Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена такая точка K, что AK = 13AD. Выразите векторы СK, KD и ВС через векторы а = ВА и b = CD.

По условию задачи дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Из того, что основание $AD$ в 3 раза больше основания $BC$, и того, что основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), следует векторное соотношение $\vec{AD} = 3\vec{BC}$.

На стороне $AD$ отмечена точка $K$ такая, что $AK = \frac{1}{3}AD$, следовательно, в векторном виде: $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD}$.

Также даны векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$.

Для решения задачи удобно сначала выразить вспомогательный вектор $\vec{BC}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Для этого воспользуемся правилом замкнутого контура для трапеции: $\vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Подставим в это равенство известные векторы и соотношения, учитывая что $\vec{DC} = -\vec{b}$ и $\vec{CB} = -\vec{BC}$:

$\vec{a} + 3\vec{BC} - \vec{b} - \vec{BC} = \vec{0}$

Приведем подобные члены:

$2\vec{BC} + \vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$

Отсюда выражаем $\vec{BC}$:

$2\vec{BC} = \vec{b} - \vec{a} \implies \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Теперь, имея это выражение, мы можем найти все требуемые векторы.

Выразим вектор $\vec{CK}$ по правилу сложения векторов, используя ломаную $C \to D \to A \to K$:

$\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DA} + \vec{AK}$

Теперь выразим каждый вектор в правой части через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

• $\vec{CD} = \vec{b}$
• $\vec{DA} = -\vec{AD} = -3\vec{BC} = -3 \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = -\frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a})$
• $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Подставим эти выражения и выполним сложение:

$\vec{CK} = \vec{b} - \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a}) + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Сгруппируем слагаемые с $(\vec{b} - \vec{a})$:

$\vec{CK} = \vec{b} + (-\frac{3}{2} + \frac{1}{2})(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - 1 \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - \vec{b} + \vec{a} = \vec{a}$

Ответ: $\vec{CK} = \vec{a}$.

Вектор $\vec{KD}$ является частью вектора $\vec{AD}$. По правилу сложения векторов, $\vec{AD} = \vec{AK} + \vec{KD}$.

Отсюда $\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK}$.

Так как по условию $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD}$, то:

$\vec{KD} = \vec{AD} - \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AD}$

Теперь выразим $\vec{AD}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя найденное ранее соотношение $\vec{AD} = 3\vec{BC}$:

$\vec{AD} = 3\vec{BC} = 3 \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Подставим это выражение в формулу для $\vec{KD}$:

$\vec{KD} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a})\right) = \vec{b} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{KD} = \vec{b} - \vec{a}$.

Выражение для этого вектора было найдено во вступительной части решения. Приведем вывод еще раз для полноты ответа.

По правилу замкнутого контура для трапеции $ABCD$: $\vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Подставим в это равенство выражения через заданные векторы и искомый вектор $\vec{BC}$:

$\vec{a} + 3\vec{BC} + (-\vec{b}) + (-\vec{BC}) = \vec{0}$

Упростим полученное уравнение:

$\vec{a} - \vec{b} + 2\vec{BC} = \vec{0}$

Выразим $2\vec{BC}$:

$2\vec{BC} = \vec{b} - \vec{a}$

Окончательно получаем:

$\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.

993 Три точки А, В и С расположены так, что BC = 12AB. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

OB = 13OA + 23OC.

Начнем с равенства, данного в условии задачи:
$\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Для доказательства искомого тождества введем произвольную точку $O$ и выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через радиус-векторы с началом в этой точке. Согласно правилу вычитания векторов:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

Подставим эти выражения в исходное равенство:
$\vec{OC} - \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA})$

Теперь необходимо преобразовать полученное уравнение так, чтобы выразить вектор $\vec{OB}$. Для этого сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$2(\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OB} - \vec{OA}$
$2\vec{OC} - 2\vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Далее сгруппируем все слагаемые, содержащие вектор $\vec{OB}$, в одной части равенства, а остальные слагаемые — в другой. Перенесем $-2\vec{OB}$ в правую часть, а $-\vec{OA}$ в левую:
$2\vec{OC} + \vec{OA} = \vec{OB} + 2\vec{OB}$

Приведем подобные члены в обеих частях уравнения:
$\vec{OA} + 2\vec{OC} = 3\vec{OB}$

Наконец, разделим обе части на 3, чтобы выразить $\vec{OB}$:
$\vec{OB} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OC}}{3}$

Запишем полученное выражение в требуемом виде:
$\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$ доказано.

994 Точка С делит отрезок AB в отношении m : n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

По условию, точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $m:n$, считая от точки $A$. Это означает, что точка $C$ лежит на отрезке $AB$ и выполняется соотношение длин отрезков $AC$ и $CB$:

$\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}$

Отсюда следует, что $n \cdot AC = m \cdot CB$.

Поскольку точка $C$ находится между точками $A$ и $B$, векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ коллинеарны и сонаправлены. Следовательно, для них справедливо векторное равенство:

$n \cdot \overrightarrow{AC} = m \cdot \overrightarrow{CB}$

Пусть $O$ — произвольная точка пространства. Выразим векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ через векторы с началом в точке $O$ по правилу разности векторов (правило треугольника):

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$

Подставим эти выражения в полученное ранее векторное равенство:

$n \cdot (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = m \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$

Раскроем скобки в уравнении:

$n \cdot \overrightarrow{OC} - n \cdot \overrightarrow{OA} = m \cdot \overrightarrow{OB} - m \cdot \overrightarrow{OC}$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие вектор $\overrightarrow{OC}$, в левой части равенства, а остальные слагаемые — в правой:

$n \cdot \overrightarrow{OC} + m \cdot \overrightarrow{OC} = n \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB}$

Вынесем общий векторный множитель $\overrightarrow{OC}$ за скобки в левой части:

$(n + m) \cdot \overrightarrow{OC} = n \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB}$

Так как $m$ и $n$ являются частями отношения длин, они представляют собой положительные числа, поэтому их сумма $m+n \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $m+n$, чтобы выразить $\overrightarrow{OC}$:

$\overrightarrow{OC} = \frac{n \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB}}{m+n}$

Разделив почленно, получаем искомое равенство:

$\overrightarrow{OC} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$

Таким образом, мы доказали, что данное равенство справедливо для любой точки $O$.

Ответ: Равенство доказано.

995* Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство

OA + OC = OB + OD.

Доказательство

Пусть $P_1, P_2, P_3, P_4$ — вершины произвольного четырехугольника. Точки $A, B, C, D$ — середины его сторон. Согласно условию, $A$ и $C$ являются серединами одной пары противоположных сторон, а $B$ и $D$ — другой. Определим их следующим образом:
- $A$ — середина стороны $P_1P_2$;
- $C$ — середина стороны $P_3P_4$;
- $B$ — середина стороны $P_2P_3$;
- $D$ — середина стороны $P_4P_1$.

Для любой точки $O$ радиус-вектор середины $M$ отрезка $XY$ выражается через радиус-векторы его концов по формуле: $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY})$.

Применим данную формулу для нахождения векторов из произвольной точки $O$ к серединам сторон четырехугольника:
$\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2})$
$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4})$
$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3})$
$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_4} + \overrightarrow{OP_1})$

Теперь рассмотрим левую и правую части доказываемого равенства $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$.

Вычислим сумму векторов в левой части:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4})$.

Вычислим сумму векторов в правой части:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_4} + \overrightarrow{OP_1}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4})$.

Поскольку выражения для левой и правой частей равенства идентичны, мы можем заключить, что $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

996 Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и бо́льшая боковая сторона трапеции равны а.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой AB и DC являются основаниями (AB || DC), а боковая сторона AD перпендикулярна основаниям. В такой трапеции углы при стороне AD прямые: ?A = ?D = 90°. Сумма углов, прилежащих к другой боковой стороне BC, составляет 180°, то есть ?B + ?C = 180°.

Заданный в условии угол в 120° не может быть ?A или ?D. Проведем высоту BH из вершины B на основание DC. В получившемся прямоугольном треугольнике BHC угол C должен быть острым (?C < 90°). Следовательно, тупым является угол ?B = 120°, а острым — угол ?C = 180° - 120° = 60°.

Боковыми сторонами трапеции являются AD и BC. Так как BC — гипотенуза прямоугольного треугольника BHC, а катет BH равен высоте трапеции AD, то BC > BH = AD. Следовательно, BC — бoльшая боковая сторона. По условию её длина равна $a$, то есть BC = $a$.

Диагоналями трапеции являются AC и BD. Сравним их длины, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике ADC имеем $AC^2 = AD^2 + DC^2$. В прямоугольном треугольнике ABD имеем $BD^2 = AD^2 + AB^2$. Так как DC — большее основание, а AB — меньшее (DC > AB), то $DC^2 > AB^2$, а значит $AC^2 > BD^2$, откуда следует, что AC > BD. Таким образом, меньшая диагональ — это BD. По условию её длина также равна $a$, то есть BD = $a$.

Рассмотрим треугольник BDC. Его стороны BC и BD равны $a$. Следовательно, треугольник BDC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, лежащий напротив стороны BC, — это ?BDC. Угол, лежащий напротив стороны BD, — это ?BCD. Таким образом, ?BDC = ?BCD. Мы уже установили, что угол трапеции ?C (то есть ?BCD) равен 60°. Отсюда следует, что ?BDC = 60°. Так как два угла в треугольнике BDC равны 60°, то и третий угол ?CBD = 180° - (60° + 60°) = 60°. Следовательно, треугольник BDC является равносторонним, и все его стороны равны $a$. Мы нашли длину большего основания: DC = $a$.

Теперь найдем длину меньшего основания AB. Для этого сначала определим высоту трапеции AD. В прямоугольном треугольнике BHC известна гипотенуза BC = $a$ и угол ?C = 60°. Высота трапеции AD равна катету BH. Найдем BH:
$BH = BC \cdot \sin(\angle C) = a \cdot \sin(60^{\circ}) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $AD = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем известна гипотенуза BD = $a$ и катет $AD = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора найдем второй катет AB:
$AB^2 + AD^2 = BD^2$
$AB^2 + (a \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = a^2$
$AB^2 + \frac{3a^2}{4} = a^2$
$AB^2 = a^2 - \frac{3a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$
$AB = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.
Длина меньшего основания $AB = \frac{a}{2}$.

Средняя линия трапеции ($m$) равна полусумме ее оснований:
$m = \frac{AB + DC}{2}$
Подставим найденные значения оснований:
$m = \frac{\frac{a}{2} + a}{2} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} = \frac{3a}{4}$.

Ответ: $\frac{3a}{4}$.

997 Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$), а AB – боковая сторона.

Пусть AK – биссектриса угла A (то есть ?DAB), а BK – биссектриса угла B (то есть ?CBA). Точка K – точка пересечения этих биссектрис.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Нам нужно доказать, что точка K лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Доказательство:

1. Проведем через точку K прямую, параллельную основаниям трапеции AD и BC. Пусть эта прямая пересекает боковую сторону AB в точке M.

2. Рассмотрим параллельные прямые MK и AD и секущую AK. Углы ?MKA и ?KAD являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $?MKA = ?KAD$.

3. По условию, AK является биссектрисой угла A, поэтому по определению биссектрисы $?MAK = ?KAD$.

4. Из равенств в пунктах 2 и 3 следует, что $?MKA = ?MAK$. Это означает, что треугольник AMK является равнобедренным с основанием AK. Следовательно, его боковые стороны AM и MK равны: $AM = MK$.

5. Теперь рассмотрим параллельные прямые MK и BC и секущую BK. Углы ?MKB и ?KBC также являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $?MKB = ?KBC$.

6. По условию, BK является биссектрисой угла B, поэтому $?MBK = ?KBC$.

7. Из равенств в пунктах 5 и 6 следует, что $?MKB = ?MBK$. Это означает, что треугольник BMK является равнобедренным с основанием BK. Следовательно, его боковые стороны BM и MK равны: $BM = MK$.

8. Сопоставляя результаты, полученные в пунктах 4 и 7, имеем: $AM = MK$ и $BM = MK$. Отсюда следует, что $AM = BM$.

9. Равенство $AM = BM$ означает, что точка M является серединой боковой стороны AB.

10. Таким образом, мы показали, что прямая, проведенная через точку K параллельно основаниям трапеции, проходит через середину боковой стороны AB. По определению и свойству средней линии трапеции, такая прямая и есть прямая, содержащая среднюю линию.

Следовательно, точка K лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.