Номер 992, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 992, страница 245.

992 Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена такая точка K, что AK = 13AD. Выразите векторы СK, KD и ВС через векторы а = ВА и b = CD.

По условию задачи дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Из того, что основание $AD$ в 3 раза больше основания $BC$, и того, что основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), следует векторное соотношение $\vec{AD} = 3\vec{BC}$.

На стороне $AD$ отмечена точка $K$ такая, что $AK = \frac{1}{3}AD$, следовательно, в векторном виде: $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD}$.

Также даны векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$.

Для решения задачи удобно сначала выразить вспомогательный вектор $\vec{BC}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Для этого воспользуемся правилом замкнутого контура для трапеции: $\vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Подставим в это равенство известные векторы и соотношения, учитывая что $\vec{DC} = -\vec{b}$ и $\vec{CB} = -\vec{BC}$:

$\vec{a} + 3\vec{BC} - \vec{b} - \vec{BC} = \vec{0}$

Приведем подобные члены:

$2\vec{BC} + \vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$

Отсюда выражаем $\vec{BC}$:

$2\vec{BC} = \vec{b} - \vec{a} \implies \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Теперь, имея это выражение, мы можем найти все требуемые векторы.

$\vec{CK}$

Выразим вектор $\vec{CK}$ по правилу сложения векторов, используя ломаную $C \to D \to A \to K$:

$\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DA} + \vec{AK}$

Теперь выразим каждый вектор в правой части через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

• $\vec{CD} = \vec{b}$
• $\vec{DA} = -\vec{AD} = -3\vec{BC} = -3 \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = -\frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a})$
• $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Подставим эти выражения и выполним сложение:

$\vec{CK} = \vec{b} - \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a}) + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Сгруппируем слагаемые с $(\vec{b} - \vec{a})$:

$\vec{CK} = \vec{b} + (-\frac{3}{2} + \frac{1}{2})(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - 1 \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - \vec{b} + \vec{a} = \vec{a}$

Ответ: $\vec{CK} = \vec{a}$.

$\vec{KD}$

Вектор $\vec{KD}$ является частью вектора $\vec{AD}$. По правилу сложения векторов, $\vec{AD} = \vec{AK} + \vec{KD}$.

Отсюда $\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK}$.

Так как по условию $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD}$, то:

$\vec{KD} = \vec{AD} - \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AD}$

Теперь выразим $\vec{AD}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя найденное ранее соотношение $\vec{AD} = 3\vec{BC}$:

$\vec{AD} = 3\vec{BC} = 3 \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Подставим это выражение в формулу для $\vec{KD}$:

$\vec{KD} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a})\right) = \vec{b} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{KD} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BC}$

Выражение для этого вектора было найдено во вступительной части решения. Приведем вывод еще раз для полноты ответа.

По правилу замкнутого контура для трапеции $ABCD$: $\vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Подставим в это равенство выражения через заданные векторы и искомый вектор $\vec{BC}$:

$\vec{a} + 3\vec{BC} + (-\vec{b}) + (-\vec{BC}) = \vec{0}$

Упростим полученное уравнение:

$\vec{a} - \vec{b} + 2\vec{BC} = \vec{0}$

Выразим $2\vec{BC}$:

$2\vec{BC} = \vec{b} - \vec{a}$

Окончательно получаем:

$\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.