Номер 997, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 997, страница 245.

997 Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$), а AB – боковая сторона.

Пусть AK – биссектриса угла A (то есть ?DAB), а BK – биссектриса угла B (то есть ?CBA). Точка K – точка пересечения этих биссектрис.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Нам нужно доказать, что точка K лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Доказательство:

1. Проведем через точку K прямую, параллельную основаниям трапеции AD и BC. Пусть эта прямая пересекает боковую сторону AB в точке M.

2. Рассмотрим параллельные прямые MK и AD и секущую AK. Углы ?MKA и ?KAD являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $?MKA = ?KAD$.

3. По условию, AK является биссектрисой угла A, поэтому по определению биссектрисы $?MAK = ?KAD$.

4. Из равенств в пунктах 2 и 3 следует, что $?MKA = ?MAK$. Это означает, что треугольник AMK является равнобедренным с основанием AK. Следовательно, его боковые стороны AM и MK равны: $AM = MK$.

5. Теперь рассмотрим параллельные прямые MK и BC и секущую BK. Углы ?MKB и ?KBC также являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $?MKB = ?KBC$.

6. По условию, BK является биссектрисой угла B, поэтому $?MBK = ?KBC$.

7. Из равенств в пунктах 5 и 6 следует, что $?MKB = ?MBK$. Это означает, что треугольник BMK является равнобедренным с основанием BK. Следовательно, его боковые стороны BM и MK равны: $BM = MK$.

8. Сопоставляя результаты, полученные в пунктах 4 и 7, имеем: $AM = MK$ и $BM = MK$. Отсюда следует, что $AM = BM$.

9. Равенство $AM = BM$ означает, что точка M является серединой боковой стороны AB.

10. Таким образом, мы показали, что прямая, проведенная через точку K параллельно основаниям трапеции, проходит через середину боковой стороны AB. По определению и свойству средней линии трапеции, такая прямая и есть прямая, содержащая среднюю линию.

Следовательно, точка K лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.