Номер 1001, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 1001, страница 251.

1001 Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны, то:

а) векторы а + b и а − b не коллинеарны;

б) векторы 2а − b и а + b не коллинеарны;

в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны.

По условию, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Два вектора называются коллинеарными, если один из них можно выразить через другой умножением на некоторое число (скаляр). Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то они являются линейно независимыми. Это означает, что равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ (где $m$ и $n$ — числа) возможно только в том случае, если оба коэффициента $m$ и $n$ равны нулю: $m=0$ и $n=0$.

Для доказательства всех утверждений будем использовать метод от противного. Мы предположим, что указанные векторы коллинеарны, и покажем, что это предположение приводит к противоречию с тем, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.

а) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны;

Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. По определению коллинеарности, существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$.

Запишем это равенство, подставив выражения для векторов:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в левой части уравнения:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по условию не коллинеарны (линейно независимы), то полученное равенство может выполняться только при условии, что коэффициенты при этих векторах равны нулю. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 1 - k = 0 \\ 1 + k = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы следует, что $k = 1$. Из второго уравнения следует, что $k = -1$. Получили противоречие, так как число $k$ не может одновременно принимать значения $1$ и $-1$. Это означает, что наше исходное предположение о коллинеарности было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.

б) векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны;

Предположим, что векторы $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$.

Подставим выражения для векторов в это равенство:
$2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$

Выполним преобразования:
$2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$
$2\vec{a} - k\vec{a} - \vec{b} - k\vec{b} = \vec{0}$
$(2 - k)\vec{a} + (-1 - k)\vec{b} = \vec{0}$

В силу линейной независимости векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, коэффициенты при них должны быть равны нулю:
$ \begin{cases} 2 - k = 0 \\ -1 - k = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $k = 2$. Из второго уравнения получаем $k = -1$. Мы снова пришли к противоречию, так как $2 \neq -1$. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.

в) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны.

Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b}$ коллинеарны. Это значит, что найдется такое число $k$, для которого выполняется равенство $\vec{c} = k\vec{d}$.

Запишем равенство с нашими векторами:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$

Преобразуем уравнение, чтобы сгруппировать $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} - 3k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 - 3k)\vec{b} = \vec{0}$

Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Это дает нам систему уравнений:
$ \begin{cases} 1 - k = 0 \\ 1 - 3k = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения находим, что $k = 1$. Подставим это значение во второе уравнение:
$1 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
Второе уравнение принимает вид $-2 = 0$, что является ложным утверждением. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и не существует такого $k$, которое бы удовлетворяло нашему предположению.

Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.