Номер 1005, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1005 Разложите векторы $\overrightarrow{а}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{с}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{е} \mathrm{и} \overrightarrow{f},$ изображённые на рисунке 309, а, б, в, по координатным векторам $\overrightarrow{i} \mathrm{и} \overrightarrow{j}$ и найдите их координаты.

Для разложения векторов по координатным векторам $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ и нахождения их координат, определим координаты начала и конца каждого вектора на сетке. Координаты вектора $ \vec{v} $, идущего из точки $ A(x_1, y_1) $ в точку $ B(x_2, y_2) $, вычисляются по формуле $ \vec{v} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $. Разложение такого вектора по базису имеет вид $ \vec{v} = (x_2 - x_1)\vec{i} + (y_2 - y_1)\vec{j} $.

а)

Рассмотрим вектор $ \vec{a} $. Его начало находится в начале координат, точке $ O(0, 0) $. Его конец находится в точке с координатами $ (2, 3) $.

Координаты вектора $ \vec{a} $ равны: $ \vec{a} = \{2 - 0; 3 - 0\} = \{2; 3\} $.

Разложение вектора $ \vec{a} $ по координатным векторам $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $:

$ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $

Ответ: $ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{a}\{2; 3\} $.

б)

Рассмотрим вектор $ \vec{b} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (-2, 3) $.

Координаты вектора $ \vec{b} $: $ \vec{b} = \{-2 - 0; 3 - 0\} = \{-2; 3\} $.

Разложение: $ \vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $.

Рассмотрим вектор $ \vec{c} $. Его начало находится в точке с координатами $ (0, 2) $, а конец — в точке $ (3, 2) $.

Координаты вектора $ \vec{c} $: $ \vec{c} = \{3 - 0; 2 - 2\} = \{3; 0\} $.

Разложение: $ \vec{c} = 3\vec{i} + 0\vec{j} = 3\vec{i} $.

Ответ: $ \vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{b}\{-2; 3\} $; $ \vec{c} = 3\vec{i} $, $ \vec{c}\{3; 0\} $.

в)

Рассмотрим вектор $ \vec{d} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (-2, -3) $.

Координаты вектора $ \vec{d} $: $ \vec{d} = \{-2 - 0; -3 - 0\} = \{-2; -3\} $.

Разложение: $ \vec{d} = -2\vec{i} - 3\vec{j} $.

Рассмотрим вектор $ \vec{e} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (2, -1) $.

Координаты вектора $ \vec{e} $: $ \vec{e} = \{2 - 0; -1 - 0\} = \{2; -1\} $.

Разложение: $ \vec{e} = 2\vec{i} - \vec{j} $.

Рассмотрим вектор $ \vec{f} $. Его начало находится в точке с координатами $ (-3, 1) $, а конец — в точке $ (-1, 4) $.

Координаты вектора $ \vec{f} $: $ \vec{f} = \{-1 - (-3); 4 - 1\} = \{-1 + 3; 3\} = \{2; 3\} $.

Разложение: $ \vec{f} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $.

Ответ: $ \vec{d} = -2\vec{i} - 3\vec{j} $, $ \vec{d}\{-2; -3\} $; $ \vec{e} = 2\vec{i} - \vec{j} $, $ \vec{e}\{2; -1\} $; $ \vec{f} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{f}\{2; 3\} $.