Страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Cтраница 251

№998 (с. 251)
Условие. №998 (с. 251)
скриншот условия

998 Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n = km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 0,5 см, | n | = 2 см; б) векторы m и n сонаправлены и | m | = 12 см, | n | = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 400 мм, | n | = 4 дм; г) векторы m и n сонаправлены и | m | = 2 см, | n | = 50 см.
Решение 2. №998 (с. 251)




Решение 3. №998 (с. 251)

Решение 4. №998 (с. 251)

Решение 6. №998 (с. 251)

Решение 7. №998 (с. 251)

Решение 9. №998 (с. 251)

Решение 11. №998 (с. 251)
Для того чтобы найти число $k$ из равенства $\vec{n} = k\vec{m}$, необходимо определить знак и модуль этого коэффициента. Знак $k$ зависит от взаимного направления векторов: если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены (указывают в одну сторону), то $k > 0$; если они противоположно направлены, то $k < 0$. Модуль $|k|$ вычисляется как отношение длин (модулей) векторов: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|}$. Перед вычислением важно привести длины к одинаковым единицам измерения.
а) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, $k < 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 0,5$ см и $|\vec{n}| = 2$ см. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{2}{0,5} = 4$. Поскольку $k$ должен быть отрицательным, получаем $k = -4$.
Ответ: $k = -4$.
б) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, $k > 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 12$ см и $|\vec{n}| = 24$ дм. Приведем длину вектора $\vec{n}$ к сантиметрам (1 дм = 10 см): $|\vec{n}| = 24 \text{ дм} = 24 \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}$. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{240}{12} = 20$. Поскольку $k$ должен быть положительным, получаем $k = 20$.
Ответ: $k = 20$.
в) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, $k < 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 400$ мм и $|\vec{n}| = 4$ дм. Приведем обе длины к сантиметрам (1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см): $|\vec{m}| = 400 \text{ мм} = 40 \text{ см}$. $|\vec{n}| = 4 \text{ дм} = 40 \text{ см}$. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{40}{40} = 1$. Поскольку $k$ должен быть отрицательным, получаем $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.
г) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, $k > 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = \sqrt{2}$ см и $|\vec{n}| = \sqrt{50}$ см. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$. Поскольку $k$ должен быть положительным, получаем $k = 5$.
Ответ: $k = 5$.
№999 (с. 251)
Условие. №999 (с. 251)
скриншот условия

999 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) AC = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) AB = kDC; д) BC = kDA; e) AM = kCA; ж) МС = kАМ; з) AC = kCM; и) АО = kBD.
Решение 2. №999 (с. 251)









Решение 3. №999 (с. 251)

Решение 4. №999 (с. 251)

Решение 6. №999 (с. 251)


Решение 7. №999 (с. 251)

Решение 9. №999 (с. 251)


Решение 11. №999 (с. 251)
Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $O$ — середина $AC$ и $BD$. По условию, $M$ — середина отрезка $AO$.
Из этих условий следуют векторные равенства:
- $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$
- $\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$
- $\vec{AM} = \vec{MO} = \frac{1}{2}\vec{AO}$
- $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$
а) $\vec{AC} = k \vec{AO}$
Так как $O$ — середина $AC$, то вектор $\vec{AC}$ сонаправлен с вектором $\vec{AO}$ и его длина вдвое больше. Следовательно, $\vec{AC} = 2\vec{AO}$.
Ответ: $k=2$.
б) $\vec{BO} = k \vec{BD}$
Поскольку $O$ — середина $BD$, вектор $\vec{BO}$ сонаправлен с вектором $\vec{BD}$ и его длина составляет половину длины $\vec{BD}$. Таким образом, $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Ответ: $k=\frac{1}{2}$.
в) $\vec{OC} = k \vec{CA}$
Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{CA}$ коллинеарны, но противоположно направлены. Значит, $k$ будет отрицательным. Мы знаем, что $\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CA} = -\vec{AC}$, откуда $\vec{AC} = -\vec{CA}$. Подставим это в первое равенство: $\vec{OC} = \frac{1}{2}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{2}\vec{CA}$.
Ответ: $k=-\frac{1}{2}$.
г) $\vec{AB} = k \vec{DC}$
По определению параллелограмма, векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. Таким образом, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Ответ: $k=1$.
д) $\vec{BC} = k \vec{DA}$
Для параллелограмма верно равенство $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Заменим $\vec{AD}$ на $\vec{BC}$: $\vec{DA} = -\vec{BC}$. Исходное равенство принимает вид $\vec{BC} = k(-\vec{BC})$, откуда $k=-1$.
Ответ: $k=-1$.
е) $\vec{AM} = k \vec{CA}$
По условию $M$ — середина $AO$, значит $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AO}$. Так как $O$ — середина $AC$, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Объединяя эти два равенства, получаем: $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = -\vec{CA}$, то $\vec{AM} = \frac{1}{4}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{4}\vec{CA}$.
Ответ: $k=-\frac{1}{4}$.
ж) $\vec{MC} = k \vec{AM}$
Выразим оба вектора через $\vec{AC}$. Из пункта е) имеем $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{MC}$ можно представить в виде разности: $\vec{MC} = \vec{AC} - \vec{AM} = \vec{AC} - \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Подставляем в искомое равенство: $\frac{3}{4}\vec{AC} = k \cdot (\frac{1}{4}\vec{AC})$. Так как $\vec{AC}$ не является нулевым вектором, можем сократить, получив $k=3$.
Ответ: $k=3$.
з) $\vec{AC} = k \vec{CM}$
Из пункта ж) мы нашли, что $\vec{MC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CM}$ противоположен $\vec{MC}$, поэтому $\vec{CM} = -\vec{MC} = -\frac{3}{4}\vec{AC}$. Выразим из этого равенства $\vec{AC}$: $\vec{AC} = -\frac{4}{3}\vec{CM}$.
Ответ: $k=-\frac{4}{3}$.
и) $\vec{AO} = k \vec{BD}$
Вектор $\vec{AO}$ лежит на диагонали $AC$, а вектор $\vec{BD}$ — это вторая диагональ. В общем случае (если параллелограмм не является вырожденным) эти векторы не коллинеарны. Равенство $\vec{a} = k \vec{b}$ для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется только тогда, когда они коллинеарны. Поскольку векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны, такое число $k$ подобрать невозможно.
Ответ: Найти такое число $k$ невозможно.
№1000 (с. 251)
Условие. №1000 (с. 251)
скриншот условия

1000 Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3b и а; б) b − 2a и а? Ответ обоснуйте.
Решение 2. №1000 (с. 251)


Решение 3. №1000 (с. 251)

Решение 4. №1000 (с. 251)

Решение 6. №1000 (с. 251)

Решение 7. №1000 (с. 251)

Решение 9. №1000 (с. 251)


Решение 11. №1000 (с. 251)
По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить как произведение другого на некоторое число (скаляр). Из условия, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, следует существование такого числа $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Это соотношение является ключом к решению. (Если $\vec{a} = \vec{0}$, то он по определению коллинеарен любому вектору, и утверждения в задаче также верны. Далее считаем, что $\vec{a} \neq \vec{0}$).
а)Рассмотрим векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$. Чтобы проверить их коллинеарность, выразим первый вектор через $\vec{a}$, используя известное соотношение $\vec{b} = k\vec{a}$: $ \vec{a} + 3\vec{b} = \vec{a} + 3(k\vec{a}) = \vec{a} + (3k)\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (1 + 3k)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{a} + 3\vec{b}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(1 + 3k)$. По определению, это означает, что векторы коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.
Рассмотрим векторы $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Аналогично предыдущему пункту, подставим $\vec{b} = k\vec{a}$ в первый вектор: $ \vec{b} - 2\vec{a} = k\vec{a} - 2\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (k - 2)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{b} - 2\vec{a}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(k - 2)$. Следовательно, эти векторы также коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.
№1001 (с. 251)
Условие. №1001 (с. 251)
скриншот условия

1001 Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны, то:
а) векторы а + b и а − b не коллинеарны;
б) векторы 2а − b и а + b не коллинеарны;
в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны.
Решение 2. №1001 (с. 251)



Решение 3. №1001 (с. 251)

Решение 4. №1001 (с. 251)

Решение 6. №1001 (с. 251)

Решение 7. №1001 (с. 251)

Решение 9. №1001 (с. 251)


Решение 11. №1001 (с. 251)
По условию, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Два вектора называются коллинеарными, если один из них можно выразить через другой умножением на некоторое число (скаляр). Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то они являются линейно независимыми. Это означает, что равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ (где $m$ и $n$ — числа) возможно только в том случае, если оба коэффициента $m$ и $n$ равны нулю: $m=0$ и $n=0$.
Для доказательства всех утверждений будем использовать метод от противного. Мы предположим, что указанные векторы коллинеарны, и покажем, что это предположение приводит к противоречию с тем, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.
а) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны;
Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. По определению коллинеарности, существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$.
Запишем это равенство, подставив выражения для векторов:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в левой части уравнения:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$
Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по условию не коллинеарны (линейно независимы), то полученное равенство может выполняться только при условии, что коэффициенты при этих векторах равны нулю. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 1 - k = 0 \\ 1 + k = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения системы следует, что $k = 1$. Из второго уравнения следует, что $k = -1$. Получили противоречие, так как число $k$ не может одновременно принимать значения $1$ и $-1$. Это означает, что наше исходное предположение о коллинеарности было неверным.
Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.
б) векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны;
Предположим, что векторы $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$.
Подставим выражения для векторов в это равенство:
$2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$
Выполним преобразования:
$2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$
$2\vec{a} - k\vec{a} - \vec{b} - k\vec{b} = \vec{0}$
$(2 - k)\vec{a} + (-1 - k)\vec{b} = \vec{0}$
В силу линейной независимости векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, коэффициенты при них должны быть равны нулю:
$ \begin{cases} 2 - k = 0 \\ -1 - k = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения получаем $k = 2$. Из второго уравнения получаем $k = -1$. Мы снова пришли к противоречию, так как $2 \neq -1$. Следовательно, наше предположение было неверным.
Ответ: Векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.
в) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны.
Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b}$ коллинеарны. Это значит, что найдется такое число $k$, для которого выполняется равенство $\vec{c} = k\vec{d}$.
Запишем равенство с нашими векторами:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$
Преобразуем уравнение, чтобы сгруппировать $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} - 3k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 - 3k)\vec{b} = \vec{0}$
Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Это дает нам систему уравнений:
$ \begin{cases} 1 - k = 0 \\ 1 - 3k = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения находим, что $k = 1$. Подставим это значение во второе уравнение:
$1 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
Второе уравнение принимает вид $-2 = 0$, что является ложным утверждением. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и не существует такого $k$, которое бы удовлетворяло нашему предположению.
Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.
№1002 (с. 251)
Условие. №1002 (с. 251)
скриншот условия

1002 Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причём АМ : МС = 4 : 1. Разложите вектор AM по векторам a = AB и b = AD.
Решение 2. №1002 (с. 251)

Решение 3. №1002 (с. 251)

Решение 4. №1002 (с. 251)

Решение 6. №1002 (с. 251)



Решение 8. №1002 (с. 251)

Решение 9. №1002 (с. 251)

Решение 11. №1002 (с. 251)
Поскольку точка $M$ лежит на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны и сонаправлены. Это означает, что вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ с помощью некоторого положительного коэффициента $k$:
$\vec{AM} = k \cdot \vec{AC}$
Из условия задачи известно соотношение длин отрезков $AM : MC = 4 : 1$. Это значит, что длина отрезка $AM$ составляет 4 части, а длина отрезка $MC$ – 1 часть. Следовательно, вся диагональ $AC$ состоит из $4 + 1 = 5$ таких частей. Отношение длины $AM$ к длине всей диагонали $AC$ равно:
$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$
Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, то коэффициент $k$ равен этому отношению:
$\vec{AM} = \frac{4}{5} \vec{AC}$
Теперь выразим вектор диагонали $\vec{AC}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$. По правилу сложения векторов в параллелограмме (правилу параллелограмма), вектор диагонали, исходящей из общей вершины, равен сумме векторов сторон, исходящих из этой же вершины:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
Подставляя обозначения векторов из условия, получаем:
$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$
Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{4}{5} (\vec{a} + \vec{b})$
Раскрыв скобки, получим окончательное разложение вектора $\vec{AM}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$
Ответ: $\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$
№1003 (с. 251)
Условие. №1003 (с. 251)
скриншот условия

1003 Векторы a и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3a − xb = уа + b; б) 4а − xа + 5b + yb = 0; в) ха + 3b − уb = 0; г) а + b − 3уa + xb = 0.
Решение 2. №1003 (с. 251)




Решение 3. №1003 (с. 251)

Решение 4. №1003 (с. 251)

Решение 6. №1003 (с. 251)


Решение 7. №1003 (с. 251)

Решение 9. №1003 (с. 251)


Решение 11. №1003 (с. 251)
Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, они являются линейно независимыми. Это означает, что равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ выполняется только тогда, когда коэффициенты $m$ и $n$ равны нулю, то есть $m=0$ и $n=0$. Мы будем использовать это свойство для решения каждой из задач.
а) $3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к виду $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$:
$3\vec{a} - y\vec{a} - x\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$(3 - y)\vec{a} + (-x - 1)\vec{b} = \vec{0}$
Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 3 - y = 0 \\ -x - 1 = 0 \end{cases}$
Решая эту систему, находим:
$y = 3$
$x = -1$
Ответ: $x = -1, y = 3$.
б) $4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$(4 - x)\vec{a} + (5 + y)\vec{b} = \vec{0}$
Так как векторы не коллинеарны, приравниваем коэффициенты к нулю:
$\begin{cases} 4 - x = 0 \\ 5 + y = 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем:
$x = 4$
$y = -5$
Ответ: $x = 4, y = -5$.
в) $x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем слагаемые при векторе $\vec{b}$:
$x\vec{a} + (3 - y)\vec{b} = \vec{0}$
Приравниваем коэффициенты к нулю:
$\begin{cases} x = 0 \\ 3 - y = 0 \end{cases}$
Из системы уравнений следует:
$x = 0$
$y = 3$
Ответ: $x = 0, y = 3$.
г) $\vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$(1 - 3y)\vec{a} + (1 + x)\vec{b} = \vec{0}$
Приравниваем коэффициенты к нулю:
$\begin{cases} 1 - 3y = 0 \\ 1 + x = 0 \end{cases}$
Решая систему, находим:
$3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$
$x = -1$
Ответ: $x = -1, y = \frac{1}{3}$.
№1004 (с. 251)
Условие. №1004 (с. 251)
скриншот условия

1004 Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами а {3; 0}, b {2; −1}, c {0; −3}, d {1; 1}, e {2; 2}.
Решение 2. №1004 (с. 251)

Решение 3. №1004 (с. 251)

Решение 4. №1004 (с. 251)

Решение 6. №1004 (с. 251)


Решение 7. №1004 (с. 251)

Решение 9. №1004 (с. 251)

Решение 11. №1004 (с. 251)
Для решения задачи сначала построим прямоугольную (декартову) систему координат $Oxy$. Это две взаимно перпендикулярные прямые — ось абсцисс $Ox$ и ось ординат $Oy$, пересекающиеся в точке $O$ — начале координат.
Координатные векторы (орты) $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — это единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей $Ox$ и $Oy$ соответственно. Таким образом, $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$.
Построение вектора с координатами $\{x; y\}$, начало которого находится в точке $O(0; 0)$, сводится к построению направленного отрезка от точки $O(0; 0)$ до точки с координатами $(x; y)$.
Ниже приведено пошаговое описание построения каждого вектора, изображенного на графике.
Построение вектора $\vec{a}\{3; 0\}$
Вектор $\vec{a}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(3; 0)$. Для построения откладываем 3 единичных отрезка в положительном направлении по оси $Ox$. Этот вектор полностью лежит на оси абсцисс.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $A(3; 0)$.
Построение вектора $\vec{b}\{2; -1\}$
Вектор $\vec{b}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(2; -1)$. Для построения откладываем 2 единицы в положительном направлении по оси $Ox$ и 1 единицу в отрицательном направлении по оси $Oy$. Конец вектора будет в IV координатной четверти.
Ответ: Вектор $\vec{b}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $B(2; -1)$.
Построение вектора $\vec{c}\{0; -3\}$
Вектор $\vec{c}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(0; -3)$. Для построения откладываем 3 единичных отрезка в отрицательном направлении по оси $Oy$. Этот вектор полностью лежит на оси ординат.
Ответ: Вектор $\vec{c}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $C(0; -3)$.
Построение вектора $\vec{d}\{1; 1\}$
Вектор $\vec{d}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(1; 1)$. Для построения откладываем 1 единицу в положительном направлении по оси $Ox$ и 1 единицу в положительном направлении по оси $Oy$. Этот вектор является диагональю квадрата со стороной 1, построенного в I координатной четверти.
Ответ: Вектор $\vec{d}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $D(1; 1)$.
Построение вектора $\vec{e}\{2; \sqrt{2}\}$
Вектор $\vec{e}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(2; \sqrt{2})$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.41$, для построения откладываем 2 единицы в положительном направлении по оси $Ox$ и приблизительно 1.41 единицы в положительном направлении по оси $Oy$.
Ответ: Вектор $\vec{e}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $E(2; \sqrt{2})$.
№1005 (с. 251)
Условие. №1005 (с. 251)
скриншот условия


1005 Разложите векторы изображённые на рисунке 309, а, б, в, по координатным векторам и найдите их координаты.

Решение 2. №1005 (с. 251)

Решение 3. №1005 (с. 251)

Решение 4. №1005 (с. 251)

Решение 6. №1005 (с. 251)

Решение 7. №1005 (с. 251)

Решение 9. №1005 (с. 251)

Решение 11. №1005 (с. 251)
Для разложения векторов по координатным векторам $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ и нахождения их координат, определим координаты начала и конца каждого вектора на сетке. Координаты вектора $ \vec{v} $, идущего из точки $ A(x_1, y_1) $ в точку $ B(x_2, y_2) $, вычисляются по формуле $ \vec{v} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $. Разложение такого вектора по базису имеет вид $ \vec{v} = (x_2 - x_1)\vec{i} + (y_2 - y_1)\vec{j} $.
а)
Рассмотрим вектор $ \vec{a} $. Его начало находится в начале координат, точке $ O(0, 0) $. Его конец находится в точке с координатами $ (2, 3) $.
Координаты вектора $ \vec{a} $ равны: $ \vec{a} = \{2 - 0; 3 - 0\} = \{2; 3\} $.
Разложение вектора $ \vec{a} $ по координатным векторам $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $:
$ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $
Ответ: $ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{a}\{2; 3\} $.
б)
Рассмотрим вектор $ \vec{b} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (-2, 3) $.
Координаты вектора $ \vec{b} $: $ \vec{b} = \{-2 - 0; 3 - 0\} = \{-2; 3\} $.
Разложение: $ \vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $.
Рассмотрим вектор $ \vec{c} $. Его начало находится в точке с координатами $ (0, 2) $, а конец — в точке $ (3, 2) $.
Координаты вектора $ \vec{c} $: $ \vec{c} = \{3 - 0; 2 - 2\} = \{3; 0\} $.
Разложение: $ \vec{c} = 3\vec{i} + 0\vec{j} = 3\vec{i} $.
Ответ: $ \vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{b}\{-2; 3\} $; $ \vec{c} = 3\vec{i} $, $ \vec{c}\{3; 0\} $.
в)
Рассмотрим вектор $ \vec{d} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (-2, -3) $.
Координаты вектора $ \vec{d} $: $ \vec{d} = \{-2 - 0; -3 - 0\} = \{-2; -3\} $.
Разложение: $ \vec{d} = -2\vec{i} - 3\vec{j} $.
Рассмотрим вектор $ \vec{e} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (2, -1) $.
Координаты вектора $ \vec{e} $: $ \vec{e} = \{2 - 0; -1 - 0\} = \{2; -1\} $.
Разложение: $ \vec{e} = 2\vec{i} - \vec{j} $.
Рассмотрим вектор $ \vec{f} $. Его начало находится в точке с координатами $ (-3, 1) $, а конец — в точке $ (-1, 4) $.
Координаты вектора $ \vec{f} $: $ \vec{f} = \{-1 - (-3); 4 - 1\} = \{-1 + 3; 3\} = \{2; 3\} $.
Разложение: $ \vec{f} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $.
Ответ: $ \vec{d} = -2\vec{i} - 3\vec{j} $, $ \vec{d}\{-2; -3\} $; $ \vec{e} = 2\vec{i} - \vec{j} $, $ \vec{e}\{2; -1\} $; $ \vec{f} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{f}\{2; 3\} $.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.