Страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Cтраница 251

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251
№998 (с. 251)
Условие. №998 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Условие

998 Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n = km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 0,5 см, | n | = 2 см; б) векторы m и n сонаправлены и | m | = 12 см, | n | = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 400 мм, | n | = 4 дм; г) векторы m и n сонаправлены и | m | = 2 см, | n | = 50 см.

Решение 2. №998 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 2 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 2 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 2 (продолжение 3) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 2 (продолжение 4)
Решение 3. №998 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 3
Решение 4. №998 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 4
Решение 6. №998 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 6
Решение 7. №998 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 7
Решение 9. №998 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 998, Решение 9
Решение 11. №998 (с. 251)

Для того чтобы найти число $k$ из равенства $\vec{n} = k\vec{m}$, необходимо определить знак и модуль этого коэффициента. Знак $k$ зависит от взаимного направления векторов: если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены (указывают в одну сторону), то $k > 0$; если они противоположно направлены, то $k < 0$. Модуль $|k|$ вычисляется как отношение длин (модулей) векторов: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|}$. Перед вычислением важно привести длины к одинаковым единицам измерения.

а) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, $k < 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 0,5$ см и $|\vec{n}| = 2$ см. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{2}{0,5} = 4$. Поскольку $k$ должен быть отрицательным, получаем $k = -4$.
Ответ: $k = -4$.

б) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, $k > 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 12$ см и $|\vec{n}| = 24$ дм. Приведем длину вектора $\vec{n}$ к сантиметрам (1 дм = 10 см): $|\vec{n}| = 24 \text{ дм} = 24 \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}$. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{240}{12} = 20$. Поскольку $k$ должен быть положительным, получаем $k = 20$.
Ответ: $k = 20$.

в) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, $k < 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 400$ мм и $|\vec{n}| = 4$ дм. Приведем обе длины к сантиметрам (1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см): $|\vec{m}| = 400 \text{ мм} = 40 \text{ см}$. $|\vec{n}| = 4 \text{ дм} = 40 \text{ см}$. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{40}{40} = 1$. Поскольку $k$ должен быть отрицательным, получаем $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.

г) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, $k > 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = \sqrt{2}$ см и $|\vec{n}| = \sqrt{50}$ см. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$. Поскольку $k$ должен быть положительным, получаем $k = 5$.
Ответ: $k = 5$.

№999 (с. 251)
Условие. №999 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Условие

999 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) AC = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) AB = kDC; д) BC = kDA; e) AM = kCA; ж) МС = kАМ; з) AC = kCM; и) АО = kBD.

Решение 2. №999 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 3) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 4) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 5) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 6) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 7) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 8) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 2 (продолжение 9)
Решение 3. №999 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 3
Решение 4. №999 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 4
Решение 6. №999 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 6 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 6 (продолжение 2)
Решение 7. №999 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 7
Решение 9. №999 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 999, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №999 (с. 251)

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $O$ — середина $AC$ и $BD$. По условию, $M$ — середина отрезка $AO$.

Из этих условий следуют векторные равенства:

  • $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$
  • $\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$
  • $\vec{AM} = \vec{MO} = \frac{1}{2}\vec{AO}$
  • $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$

а) $\vec{AC} = k \vec{AO}$

Так как $O$ — середина $AC$, то вектор $\vec{AC}$ сонаправлен с вектором $\vec{AO}$ и его длина вдвое больше. Следовательно, $\vec{AC} = 2\vec{AO}$.

Ответ: $k=2$.

б) $\vec{BO} = k \vec{BD}$

Поскольку $O$ — середина $BD$, вектор $\vec{BO}$ сонаправлен с вектором $\vec{BD}$ и его длина составляет половину длины $\vec{BD}$. Таким образом, $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

Ответ: $k=\frac{1}{2}$.

в) $\vec{OC} = k \vec{CA}$

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{CA}$ коллинеарны, но противоположно направлены. Значит, $k$ будет отрицательным. Мы знаем, что $\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CA} = -\vec{AC}$, откуда $\vec{AC} = -\vec{CA}$. Подставим это в первое равенство: $\vec{OC} = \frac{1}{2}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{2}\vec{CA}$.

Ответ: $k=-\frac{1}{2}$.

г) $\vec{AB} = k \vec{DC}$

По определению параллелограмма, векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. Таким образом, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Ответ: $k=1$.

д) $\vec{BC} = k \vec{DA}$

Для параллелограмма верно равенство $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Заменим $\vec{AD}$ на $\vec{BC}$: $\vec{DA} = -\vec{BC}$. Исходное равенство принимает вид $\vec{BC} = k(-\vec{BC})$, откуда $k=-1$.

Ответ: $k=-1$.

е) $\vec{AM} = k \vec{CA}$

По условию $M$ — середина $AO$, значит $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AO}$. Так как $O$ — середина $AC$, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Объединяя эти два равенства, получаем: $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = -\vec{CA}$, то $\vec{AM} = \frac{1}{4}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{4}\vec{CA}$.

Ответ: $k=-\frac{1}{4}$.

ж) $\vec{MC} = k \vec{AM}$

Выразим оба вектора через $\vec{AC}$. Из пункта е) имеем $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{MC}$ можно представить в виде разности: $\vec{MC} = \vec{AC} - \vec{AM} = \vec{AC} - \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Подставляем в искомое равенство: $\frac{3}{4}\vec{AC} = k \cdot (\frac{1}{4}\vec{AC})$. Так как $\vec{AC}$ не является нулевым вектором, можем сократить, получив $k=3$.

Ответ: $k=3$.

з) $\vec{AC} = k \vec{CM}$

Из пункта ж) мы нашли, что $\vec{MC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CM}$ противоположен $\vec{MC}$, поэтому $\vec{CM} = -\vec{MC} = -\frac{3}{4}\vec{AC}$. Выразим из этого равенства $\vec{AC}$: $\vec{AC} = -\frac{4}{3}\vec{CM}$.

Ответ: $k=-\frac{4}{3}$.

и) $\vec{AO} = k \vec{BD}$

Вектор $\vec{AO}$ лежит на диагонали $AC$, а вектор $\vec{BD}$ — это вторая диагональ. В общем случае (если параллелограмм не является вырожденным) эти векторы не коллинеарны. Равенство $\vec{a} = k \vec{b}$ для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется только тогда, когда они коллинеарны. Поскольку векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны, такое число $k$ подобрать невозможно.

Ответ: Найти такое число $k$ невозможно.

№1000 (с. 251)
Условие. №1000 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Условие

1000 Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3b и а; б) b − 2a и а? Ответ обоснуйте.

Решение 2. №1000 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 2 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №1000 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 3
Решение 4. №1000 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 4
Решение 6. №1000 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 6
Решение 7. №1000 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 7
Решение 9. №1000 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1000, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №1000 (с. 251)

По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить как произведение другого на некоторое число (скаляр). Из условия, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, следует существование такого числа $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Это соотношение является ключом к решению. (Если $\vec{a} = \vec{0}$, то он по определению коллинеарен любому вектору, и утверждения в задаче также верны. Далее считаем, что $\vec{a} \neq \vec{0}$).

а)

Рассмотрим векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$. Чтобы проверить их коллинеарность, выразим первый вектор через $\vec{a}$, используя известное соотношение $\vec{b} = k\vec{a}$: $ \vec{a} + 3\vec{b} = \vec{a} + 3(k\vec{a}) = \vec{a} + (3k)\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (1 + 3k)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{a} + 3\vec{b}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(1 + 3k)$. По определению, это означает, что векторы коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.

б)

Рассмотрим векторы $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Аналогично предыдущему пункту, подставим $\vec{b} = k\vec{a}$ в первый вектор: $ \vec{b} - 2\vec{a} = k\vec{a} - 2\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (k - 2)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{b} - 2\vec{a}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(k - 2)$. Следовательно, эти векторы также коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.

№1001 (с. 251)
Условие. №1001 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Условие

1001 Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны, то:

а) векторы а + b и аb не коллинеарны;

б) векторы 2аb и а + b не коллинеарны;

в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны.

Решение 2. №1001 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 2 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 2 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №1001 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 3
Решение 4. №1001 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 4
Решение 6. №1001 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 6
Решение 7. №1001 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 7
Решение 9. №1001 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1001, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №1001 (с. 251)

По условию, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Два вектора называются коллинеарными, если один из них можно выразить через другой умножением на некоторое число (скаляр). Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то они являются линейно независимыми. Это означает, что равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ (где $m$ и $n$ — числа) возможно только в том случае, если оба коэффициента $m$ и $n$ равны нулю: $m=0$ и $n=0$.

Для доказательства всех утверждений будем использовать метод от противного. Мы предположим, что указанные векторы коллинеарны, и покажем, что это предположение приводит к противоречию с тем, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.

а) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны;

Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. По определению коллинеарности, существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$.

Запишем это равенство, подставив выражения для векторов:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в левой части уравнения:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по условию не коллинеарны (линейно независимы), то полученное равенство может выполняться только при условии, что коэффициенты при этих векторах равны нулю. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 1 - k = 0 \\ 1 + k = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы следует, что $k = 1$. Из второго уравнения следует, что $k = -1$. Получили противоречие, так как число $k$ не может одновременно принимать значения $1$ и $-1$. Это означает, что наше исходное предположение о коллинеарности было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.

б) векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны;

Предположим, что векторы $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$.

Подставим выражения для векторов в это равенство:
$2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$

Выполним преобразования:
$2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$
$2\vec{a} - k\vec{a} - \vec{b} - k\vec{b} = \vec{0}$
$(2 - k)\vec{a} + (-1 - k)\vec{b} = \vec{0}$

В силу линейной независимости векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, коэффициенты при них должны быть равны нулю:
$ \begin{cases} 2 - k = 0 \\ -1 - k = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $k = 2$. Из второго уравнения получаем $k = -1$. Мы снова пришли к противоречию, так как $2 \neq -1$. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.

в) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны.

Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b}$ коллинеарны. Это значит, что найдется такое число $k$, для которого выполняется равенство $\vec{c} = k\vec{d}$.

Запишем равенство с нашими векторами:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$

Преобразуем уравнение, чтобы сгруппировать $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} - 3k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 - 3k)\vec{b} = \vec{0}$

Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Это дает нам систему уравнений:
$ \begin{cases} 1 - k = 0 \\ 1 - 3k = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения находим, что $k = 1$. Подставим это значение во второе уравнение:
$1 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
Второе уравнение принимает вид $-2 = 0$, что является ложным утверждением. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и не существует такого $k$, которое бы удовлетворяло нашему предположению.

Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.

№1002 (с. 251)
Условие. №1002 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Условие

1002 Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причём АМ : МС = 4 : 1. Разложите вектор AM по векторам a = AB и b = AD.

Решение 2. №1002 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 2
Решение 3. №1002 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 3
Решение 4. №1002 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 4
Решение 6. №1002 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 6 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 6 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 6 (продолжение 3)
Решение 8. №1002 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 8
Решение 9. №1002 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1002, Решение 9
Решение 11. №1002 (с. 251)

Поскольку точка $M$ лежит на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны и сонаправлены. Это означает, что вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ с помощью некоторого положительного коэффициента $k$:

$\vec{AM} = k \cdot \vec{AC}$

Из условия задачи известно соотношение длин отрезков $AM : MC = 4 : 1$. Это значит, что длина отрезка $AM$ составляет 4 части, а длина отрезка $MC$ – 1 часть. Следовательно, вся диагональ $AC$ состоит из $4 + 1 = 5$ таких частей. Отношение длины $AM$ к длине всей диагонали $AC$ равно:

$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$

Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, то коэффициент $k$ равен этому отношению:

$\vec{AM} = \frac{4}{5} \vec{AC}$

Теперь выразим вектор диагонали $\vec{AC}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$. По правилу сложения векторов в параллелограмме (правилу параллелограмма), вектор диагонали, исходящей из общей вершины, равен сумме векторов сторон, исходящих из этой же вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Подставляя обозначения векторов из условия, получаем:

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \frac{4}{5} (\vec{a} + \vec{b})$

Раскрыв скобки, получим окончательное разложение вектора $\vec{AM}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

№1003 (с. 251)
Условие. №1003 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Условие

1003 Векторы a и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3axb = уа + b; б) 4аxа + 5b + yb = 0; в) ха + 3bуb = 0; г) а + b − 3уa + xb = 0.

Решение 2. №1003 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 2 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 2 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 2 (продолжение 3) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 2 (продолжение 4)
Решение 3. №1003 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 3
Решение 4. №1003 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 4
Решение 6. №1003 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 6 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 6 (продолжение 2)
Решение 7. №1003 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 7
Решение 9. №1003 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1003, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №1003 (с. 251)

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, они являются линейно независимыми. Это означает, что равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ выполняется только тогда, когда коэффициенты $m$ и $n$ равны нулю, то есть $m=0$ и $n=0$. Мы будем использовать это свойство для решения каждой из задач.

а) $3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к виду $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$:

$3\vec{a} - y\vec{a} - x\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(3 - y)\vec{a} + (-x - 1)\vec{b} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 3 - y = 0 \\ -x - 1 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, находим:

$y = 3$

$x = -1$

Ответ: $x = -1, y = 3$.

б) $4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(4 - x)\vec{a} + (5 + y)\vec{b} = \vec{0}$

Так как векторы не коллинеарны, приравниваем коэффициенты к нулю:

$\begin{cases} 4 - x = 0 \\ 5 + y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$x = 4$

$y = -5$

Ответ: $x = 4, y = -5$.

в) $x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторе $\vec{b}$:

$x\vec{a} + (3 - y)\vec{b} = \vec{0}$

Приравниваем коэффициенты к нулю:

$\begin{cases} x = 0 \\ 3 - y = 0 \end{cases}$

Из системы уравнений следует:

$x = 0$

$y = 3$

Ответ: $x = 0, y = 3$.

г) $\vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(1 - 3y)\vec{a} + (1 + x)\vec{b} = \vec{0}$

Приравниваем коэффициенты к нулю:

$\begin{cases} 1 - 3y = 0 \\ 1 + x = 0 \end{cases}$

Решая систему, находим:

$3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$

$x = -1$

Ответ: $x = -1, y = \frac{1}{3}$.

№1004 (с. 251)
Условие. №1004 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Условие

1004 Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами а {3; 0}, b {2; −1}, c {0; −3}, d {1; 1}, e {2; 2}.

Решение 2. №1004 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Решение 2
Решение 3. №1004 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Решение 3
Решение 4. №1004 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Решение 4
Решение 6. №1004 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Решение 6 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Решение 6 (продолжение 2)
Решение 7. №1004 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Решение 7
Решение 9. №1004 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1004, Решение 9
Решение 11. №1004 (с. 251)

Для решения задачи сначала построим прямоугольную (декартову) систему координат $Oxy$. Это две взаимно перпендикулярные прямые — ось абсцисс $Ox$ и ось ординат $Oy$, пересекающиеся в точке $O$ — начале координат.

Координатные векторы (орты) $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — это единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей $Ox$ и $Oy$ соответственно. Таким образом, $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$.

Построение вектора с координатами $\{x; y\}$, начало которого находится в точке $O(0; 0)$, сводится к построению направленного отрезка от точки $O(0; 0)$ до точки с координатами $(x; y)$.

x y O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 -3 i⃗ j⃗ a⃗ b⃗ c⃗ d⃗ e⃗

Ниже приведено пошаговое описание построения каждого вектора, изображенного на графике.

Построение вектора $\vec{a}\{3; 0\}$

Вектор $\vec{a}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(3; 0)$. Для построения откладываем 3 единичных отрезка в положительном направлении по оси $Ox$. Этот вектор полностью лежит на оси абсцисс.

Ответ: Вектор $\vec{a}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $A(3; 0)$.

Построение вектора $\vec{b}\{2; -1\}$

Вектор $\vec{b}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(2; -1)$. Для построения откладываем 2 единицы в положительном направлении по оси $Ox$ и 1 единицу в отрицательном направлении по оси $Oy$. Конец вектора будет в IV координатной четверти.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $B(2; -1)$.

Построение вектора $\vec{c}\{0; -3\}$

Вектор $\vec{c}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(0; -3)$. Для построения откладываем 3 единичных отрезка в отрицательном направлении по оси $Oy$. Этот вектор полностью лежит на оси ординат.

Ответ: Вектор $\vec{c}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $C(0; -3)$.

Построение вектора $\vec{d}\{1; 1\}$

Вектор $\vec{d}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(1; 1)$. Для построения откладываем 1 единицу в положительном направлении по оси $Ox$ и 1 единицу в положительном направлении по оси $Oy$. Этот вектор является диагональю квадрата со стороной 1, построенного в I координатной четверти.

Ответ: Вектор $\vec{d}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $D(1; 1)$.

Построение вектора $\vec{e}\{2; \sqrt{2}\}$

Вектор $\vec{e}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(2; \sqrt{2})$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.41$, для построения откладываем 2 единицы в положительном направлении по оси $Ox$ и приблизительно 1.41 единицы в положительном направлении по оси $Oy$.

Ответ: Вектор $\vec{e}$ — это направленный отрезок от точки $O(0; 0)$ до точки $E(2; \sqrt{2})$.

№1005 (с. 251)
Условие. №1005 (с. 251)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Условие Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Условие (продолжение 2)

1005 Разложите векторы а, b, с, d, е и f, изображённые на рисунке 309, а, б, в, по координатным векторам i и j и найдите их координаты.

Рисунок 309
Решение 2. №1005 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Решение 2
Решение 3. №1005 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Решение 3
Решение 4. №1005 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Решение 4
Решение 6. №1005 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Решение 6
Решение 7. №1005 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Решение 7
Решение 9. №1005 (с. 251)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 251, номер 1005, Решение 9
Решение 11. №1005 (с. 251)

Для разложения векторов по координатным векторам $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ и нахождения их координат, определим координаты начала и конца каждого вектора на сетке. Координаты вектора $ \vec{v} $, идущего из точки $ A(x_1, y_1) $ в точку $ B(x_2, y_2) $, вычисляются по формуле $ \vec{v} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $. Разложение такого вектора по базису имеет вид $ \vec{v} = (x_2 - x_1)\vec{i} + (y_2 - y_1)\vec{j} $.

а)

Рассмотрим вектор $ \vec{a} $. Его начало находится в начале координат, точке $ O(0, 0) $. Его конец находится в точке с координатами $ (2, 3) $.

Координаты вектора $ \vec{a} $ равны: $ \vec{a} = \{2 - 0; 3 - 0\} = \{2; 3\} $.

Разложение вектора $ \vec{a} $ по координатным векторам $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $:

$ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $

Ответ: $ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{a}\{2; 3\} $.

б)

Рассмотрим вектор $ \vec{b} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (-2, 3) $.

Координаты вектора $ \vec{b} $: $ \vec{b} = \{-2 - 0; 3 - 0\} = \{-2; 3\} $.

Разложение: $ \vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $.

Рассмотрим вектор $ \vec{c} $. Его начало находится в точке с координатами $ (0, 2) $, а конец — в точке $ (3, 2) $.

Координаты вектора $ \vec{c} $: $ \vec{c} = \{3 - 0; 2 - 2\} = \{3; 0\} $.

Разложение: $ \vec{c} = 3\vec{i} + 0\vec{j} = 3\vec{i} $.

Ответ: $ \vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{b}\{-2; 3\} $; $ \vec{c} = 3\vec{i} $, $ \vec{c}\{3; 0\} $.

в)

Рассмотрим вектор $ \vec{d} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (-2, -3) $.

Координаты вектора $ \vec{d} $: $ \vec{d} = \{-2 - 0; -3 - 0\} = \{-2; -3\} $.

Разложение: $ \vec{d} = -2\vec{i} - 3\vec{j} $.

Рассмотрим вектор $ \vec{e} $. Его начало находится в точке $ O(0, 0) $, а конец — в точке с координатами $ (2, -1) $.

Координаты вектора $ \vec{e} $: $ \vec{e} = \{2 - 0; -1 - 0\} = \{2; -1\} $.

Разложение: $ \vec{e} = 2\vec{i} - \vec{j} $.

Рассмотрим вектор $ \vec{f} $. Его начало находится в точке с координатами $ (-3, 1) $, а конец — в точке $ (-1, 4) $.

Координаты вектора $ \vec{f} $: $ \vec{f} = \{-1 - (-3); 4 - 1\} = \{-1 + 3; 3\} = \{2; 3\} $.

Разложение: $ \vec{f} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $.

Ответ: $ \vec{d} = -2\vec{i} - 3\vec{j} $, $ \vec{d}\{-2; -3\} $; $ \vec{e} = 2\vec{i} - \vec{j} $, $ \vec{e}\{2; -1\} $; $ \vec{f} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{f}\{2; 3\} $.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться