Номер 998, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 998, страница 251.

998 Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n = km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 0,5 см, | n | = 2 см; б) векторы m и n сонаправлены и | m | = 12 см, | n | = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 400 мм, | n | = 4 дм; г) векторы m и n сонаправлены и | m | = 2 см, | n | = 50 см.

Для того чтобы найти число $k$ из равенства $\vec{n} = k\vec{m}$, необходимо определить знак и модуль этого коэффициента. Знак $k$ зависит от взаимного направления векторов: если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены (указывают в одну сторону), то $k > 0$; если они противоположно направлены, то $k < 0$. Модуль $|k|$ вычисляется как отношение длин (модулей) векторов: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|}$. Перед вычислением важно привести длины к одинаковым единицам измерения.

а) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, $k < 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 0,5$ см и $|\vec{n}| = 2$ см. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{2}{0,5} = 4$. Поскольку $k$ должен быть отрицательным, получаем $k = -4$.
Ответ: $k = -4$.

б) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, $k > 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 12$ см и $|\vec{n}| = 24$ дм. Приведем длину вектора $\vec{n}$ к сантиметрам (1 дм = 10 см): $|\vec{n}| = 24 \text{ дм} = 24 \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}$. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{240}{12} = 20$. Поскольку $k$ должен быть положительным, получаем $k = 20$.
Ответ: $k = 20$.

в) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, $k < 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = 400$ мм и $|\vec{n}| = 4$ дм. Приведем обе длины к сантиметрам (1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см): $|\vec{m}| = 400 \text{ мм} = 40 \text{ см}$. $|\vec{n}| = 4 \text{ дм} = 40 \text{ см}$. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{40}{40} = 1$. Поскольку $k$ должен быть отрицательным, получаем $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.

г) По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, $k > 0$. Даны их модули: $|\vec{m}| = \sqrt{2}$ см и $|\vec{n}| = \sqrt{50}$ см. Найдем модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$. Поскольку $k$ должен быть положительным, получаем $k = 5$.
Ответ: $k = 5$.