Номер 991, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 991, страница 245.

991 На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответственно точки X и Y так, что MXXN = 32 и NYYP = 32. Выразите векторы XY и МР через векторы a = NM и b = NP.

В задаче даны треугольник $MNP$, точки $X$ на $MN$ и $Y$ на $NP$, базисные векторы $\vec{a} = \vec{NM}$ и $\vec{b} = \vec{NP}$, а также соотношения $\frac{MX}{XN} = \frac{3}{2}$ и $\frac{NY}{YP} = \frac{3}{2}$.

Выражение вектора $\vec{XY}$

Для выражения вектора $\vec{XY}$ воспользуемся правилом сложения векторов, представив его как сумму векторов, идущих по сторонам треугольника $XNY$: $\vec{XY} = \vec{XN} + \vec{NY}$.

Найдем вектор $\vec{XN}$. Точка $X$ делит сторону $MN$ в отношении $MX:XN = 3:2$. Это значит, что длина отрезка $XN$ составляет $\frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ от длины всего отрезка $MN$. Вектор $\vec{XN}$ сонаправлен с вектором $\vec{MN}$. Вектор $\vec{MN}$ противоположен вектору $\vec{NM}$, поэтому $\vec{MN} = -\vec{NM} = -\vec{a}$. Таким образом, получаем: $\vec{XN} = \frac{2}{5}\vec{MN} = \frac{2}{5}(-\vec{a}) = -\frac{2}{5}\vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{NY}$. Точка $Y$ делит сторону $NP$ в отношении $NY:YP = 3:2$. Это значит, что длина отрезка $NY$ составляет $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ от длины всего отрезка $NP$. Вектор $\vec{NY}$ сонаправлен с вектором $\vec{NP}$. По условию $\vec{NP} = \vec{b}$. Таким образом, получаем: $\vec{NY} = \frac{3}{5}\vec{NP} = \frac{3}{5}\vec{b}$.

Подставим найденные выражения для векторов $\vec{XN}$ и $\vec{NY}$ в исходную формулу: $\vec{XY} = -\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{XY} = \frac{3}{5}\vec{b} - \frac{2}{5}\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{MP}$

Для выражения вектора $\vec{MP}$ воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов: $\vec{MP} = \vec{MN} + \vec{NP}$.

Нам известны векторы $\vec{a} = \vec{NM}$ и $\vec{b} = \vec{NP}$. Выразим векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$ через них. Вектор $\vec{MN}$ является противоположным к вектору $\vec{NM}$, следовательно, $\vec{MN} = -\vec{NM} = -\vec{a}$. Вектор $\vec{NP}$ дан по условию: $\vec{NP} = \vec{b}$.

Теперь подставим эти выражения в правило треугольника: $\vec{MP} = -\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{MP} = \vec{b} - \vec{a}$