Номер 988, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 988, страница 244.

988 Докажите, что если векторы m и n сонаправлены, то | m + n | = | m | + | n |, а если m и n противоположно направлены, причём | m | ≥ | n |, то | m + n | = | m | − | n |.

Докажите, что если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну сторону. Сонаправленность векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ обозначается как $\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$.

Поскольку векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, они имеют одинаковое направление. Введем единичный вектор $\vec{e}$, направление которого совпадает с направлением векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Единичный вектор — это вектор, длина (модуль) которого равна единице, то есть $|\vec{e}|=1$.

Любой вектор можно представить как произведение его модуля (длины) на единичный вектор его направления. Таким образом:
$\vec{m} = |\vec{m}| \cdot \vec{e}$
$\vec{n} = |\vec{n}| \cdot \vec{e}$

Найдем сумму векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, подставив их выражения через единичный вектор:
$\vec{m} + \vec{n} = |\vec{m}| \vec{e} + |\vec{n}| \vec{e}$

Используя дистрибутивный закон, вынесем общий векторный множитель $\vec{e}$ за скобки:
$\vec{m} + \vec{n} = (|\vec{m}| + |\vec{n}|) \vec{e}$

Теперь найдем модуль (длину) вектора суммы. Воспользуемся свойством модуля вектора: $|\lambda \vec{v}| = |\lambda| |\vec{v}|$, где $\lambda$ — скаляр.
В нашем случае скаляр $\lambda = |\vec{m}| + |\vec{n}|$. Так как модули векторов $|\vec{m}|$ и $|\vec{n}|$ — это неотрицательные числа, их сумма также неотрицательна. Следовательно, модуль этого скаляра равен самому скаляру: $|(|\vec{m}| + |\vec{n}|)| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$.
Модуль единичного вектора $|\vec{e}|$ равен 1.

Применяя свойство, получаем:
$|\vec{m} + \vec{n}| = |(|\vec{m}| + |\vec{n}|) \vec{e}| = |(|\vec{m}| + |\vec{n}|)| \cdot |\vec{e}| = (|\vec{m}| + |\vec{n}|) \cdot 1 = |\vec{m}| + |\vec{n}|$

Таким образом, доказано, что если векторы сонаправлены, модуль их суммы равен сумме их модулей.

Ответ: Равенство $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$ доказано для сонаправленных векторов.

а если $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, причём $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но направлены в противоположные стороны. Обозначим это как $\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$.

Пусть $\vec{e}$ — единичный вектор, сонаправленный с вектором $\vec{m}$ (вектором большей длины по условию). Тогда вектор $\vec{m}$ можно представить в виде:
$\vec{m} = |\vec{m}| \cdot \vec{e}$

Поскольку вектор $\vec{n}$ направлен в противоположную сторону, единичный вектор в его направлении будет $-\vec{e}$. Следовательно, вектор $\vec{n}$ можно представить в виде:
$\vec{n} = |\vec{n}| \cdot (-\vec{e}) = -|\vec{n}| \vec{e}$

Найдем сумму векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:
$\vec{m} + \vec{n} = |\vec{m}| \vec{e} + (-|\vec{n}| \vec{e}) = |\vec{m}| \vec{e} - |\vec{n}| \vec{e}$

Вынесем общий векторный множитель $\vec{e}$ за скобки:
$\vec{m} + \vec{n} = (|\vec{m}| - |\vec{n}|) \vec{e}$

Найдем модуль вектора суммы, используя свойство $|\lambda \vec{v}| = |\lambda| |\vec{v}|$.
В данном случае скаляр $\lambda = |\vec{m}| - |\vec{n}|$. По условию задачи $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$, следовательно, разность $|\vec{m}| - |\vec{n}|$ является неотрицательным числом. Это значит, что модуль этого скаляра равен самому скаляру: $|(|\vec{m}| - |\vec{n}|)| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$.
Модуль единичного вектора $|\vec{e}|$ равен 1.

Следовательно:
$|\vec{m} + \vec{n}| = |(|\vec{m}| - |\vec{n}|) \vec{e}| = |(|\vec{m}| - |\vec{n}|)| \cdot |\vec{e}| = (|\vec{m}| - |\vec{n}|) \cdot 1 = |\vec{m}| - |\vec{n}|$

Таким образом, доказано, что если векторы противоположно направлены и модуль одного не меньше модуля другого, то модуль их суммы равен разности их модулей.

Ответ: Равенство $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$ доказано для противоположно направленных векторов при условии $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$.