Номер 14, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 10. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 14, страница 244.

14 Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

Произведением данного вектора $\vec{a}$ на данное число (которое также называют скаляром) $k$ называется новый вектор, обозначаемый как $k\vec{a}$ или $k \cdot \vec{a}$. Определение этого результирующего вектора зависит от того, являются ли исходный вектор и число нулевыми.

1. Случай, когда вектор $\vec{a}$ ненулевой ($\vec{a} \neq \vec{0}$) и число $k$ не равно нулю ($k \neq 0$).
В этом случае произведением является вектор, который характеризуется следующими свойствами:
а) Модуль (длина). Модуль результирующего вектора равен произведению модуля исходного вектора на модуль числа $k$.
Формула: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
Это означает, что исходный вектор растягивается (если $|k|>1$), сжимается (если $0 < |k| < 1$) или остается той же длины (если $|k|=1$).
б) Направление. Результирующий вектор всегда коллинеарен исходному вектору $\vec{a}$ (т.е. лежит на той же прямой или на параллельной ей). Конкретное направление зависит от знака числа $k$:
- Если $k > 0$ (число положительное), то направление вектора $k\vec{a}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$. Векторы называются сонаправленными ($k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$).
- Если $k < 0$ (число отрицательное), то направление вектора $k\vec{a}$ противоположно направлению вектора $\vec{a}$. Векторы называются противоположно направленными ($k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$).

2. Случай, когда вектор $\vec{a}$ нулевой ($\vec{a} = \vec{0}$) или число $k$ равно нулю ($k=0$).
Если выполняется хотя бы одно из этих условий, то произведение по определению считается равным нулевому вектору (вектору, у которого начало и конец совпадают).
$k \cdot \vec{0} = \vec{0}$ для любого числа $k$.
$0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ для любого вектора $\vec{a}$.

Ответ: Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется вектор $k\vec{a}$, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$. Направление этого вектора совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$. Если $\vec{a} = \vec{0}$ или $k = 0$, то произведение равно нулевому вектору.