Номер 9, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 10. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 9, страница 244.

9 Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

Теорема: Законы сложения векторов

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливы следующие равенства (законы):

1. Переместительный (коммутативный) закон: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
2. Сочетательный (ассоциативный) закон: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Доказательство теоремы

1. Доказательство переместительного закона

Докажем, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Рассмотрим случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Отложим от произвольной точки $A$ векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. На этих векторах как на сторонах построим параллелограмм $ABCD$.

По правилу треугольника, сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равна $\vec{AB} + \vec{BC}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Следовательно, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

С другой стороны, сумма векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$ равна $\vec{AD} + \vec{DC}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$. Следовательно, $\vec{b} + \vec{a} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Так как обе суммы, $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{b} + \vec{a}$, равны одному и тому же вектору $\vec{AC}$, то $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то их сумма находится путем последовательного откладывания на одной прямой. Очевидно, что и в этом случае результат не зависит от порядка слагаемых.

Ответ: Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$, что доказывает переместительный закон.

2. Доказательство сочетательного закона

Докажем, что для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Отложим от произвольной точки $A$ последовательно векторы $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$ и $\vec{CD} = \vec{c}$.

Найдем сумму в левой части равенства: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$.

По правилу треугольника, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Далее, прибавив вектор $\vec{c}$, получим: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Теперь найдем сумму в правой части равенства: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

По правилу треугольника, $\vec{b} + \vec{c} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.

Далее, прибавив к вектору $\vec{a}$, получим: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Поскольку левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AD}$, то $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Ответ: Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ выполняется равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$, что доказывает сочетательный закон.