Номер 6, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 10. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 6, страница 244.

6 Объясните смысл выражения: «Вектор а отложен от точки А». Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Объясните смысл выражения: «Вектор $\vec{a}$ отложен от точки A»
Выражение «вектор $\vec{a}$ отложен от точки A» означает, что построен такой вектор, у которого начало находится в точке A, и который равен данному вектору $\vec{a}$.
Если обозначить конец этого вектора буквой B, то получится вектор $\vec{AB}$. Равенство векторов $\vec{AB} = \vec{a}$ означает выполнение двух условий:

1. Их длины (модули) равны: $|\vec{AB}| = |\vec{a}|$.
2. Они сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну и ту же сторону).

Таким образом, отложить вектор $\vec{a}$ от точки A — это найти такую точку B, что вектор $\vec{AB}$ будет иметь ту же длину и то же направление, что и вектор $\vec{a}$.
Ответ: Выражение «Вектор $\vec{a}$ отложен от точки A» означает, что построили вектор $\vec{AB}$ такой, что $\vec{AB} = \vec{a}$. То есть, точка A является началом вектора, равного вектору $\vec{a}$.

Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Это утверждение можно разбить на две части: доказательство существования такого вектора и доказательство его единственности.
Пусть дана произвольная точка A и произвольный вектор $\vec{a}$.

1. Доказательство существования.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: Вектор $\vec{a}$ — нулевой, то есть $\vec{a} = \vec{0}$. Нулевой вектор имеет длину 0. Чтобы отложить его от точки A, нужно найти точку B, для которой $\vec{AB} = \vec{0}$. Это выполняется, когда точки A и B совпадают. Таким образом, искомый вектор — это $\vec{AA}$, он равен нулевому вектору. Следовательно, отложить нулевой вектор от любой точки возможно.
Случай 2: Вектор $\vec{a}$ — ненулевой. Он имеет определенную длину $|\vec{a}| > 0$ и определенное направление. Через точку A проведем прямую, параллельную прямой, на которой лежит вектор $\vec{a}$ (согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна). На этой прямой, начиная от точки A, выберем луч (направление), который сонаправлен вектору $\vec{a}$. На этом луче от точки A отложим отрезок AB, длина которого равна длине вектора $\vec{a}$: $|AB| = |\vec{a}|$. Построение такого отрезка всегда возможно и однозначно.
В результате мы построили вектор $\vec{AB}$, который по построению сонаправлен вектору $\vec{a}$ и имеет равную с ним длину. По определению равенства векторов, $\vec{AB} = \vec{a}$.
Таким образом, существование вектора, равного данному и отложенного от любой точки, доказано.

2. Доказательство единственности.
Предположим, что от точки A можно отложить два различных вектора, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$, которые оба равны вектору $\vec{a}$. То есть, мы предполагаем, что $B_1$ и $B_2$ — это разные точки ($B_1 \neq B_2$).
Из нашего предположения следует, что $\vec{AB_1} = \vec{a}$ и $\vec{AB_2} = \vec{a}$. Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{AB_2}$.
Равенство векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$ означает, что они:

1. Имеют равные длины: $|AB_1| = |AB_2|$.
2. Сонаправлены.

Поскольку оба вектора начинаются в одной и той же точке A, их сонаправленность означает, что точки $B_1$ и $B_2$ лежат на одном и том же луче, выходящем из точки A.
Но на одном луче от его начала можно отложить только одну точку на заданном расстоянии. Так как $|AB_1| = |AB_2|$, то точки $B_1$ и $B_2$ должны совпадать.
Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $B_1 \neq B_2$. Следовательно, наше предположение было неверным, и существует только одна такая точка B. Это означает, что от точки A можно отложить только один вектор, равный данному вектору $\vec{a}$.
Ответ: Утверждение доказано. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.