Номер 5, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 10. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 5, страница 243.

5 Дайте определение равных векторов.

Два ненулевых вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину (модуль).

Более формально, для равенства двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

• Векторы сонаправлены, то есть направлены в одну сторону. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Сонаправленность также означает, что векторы коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой).
• Длины (модули) векторов равны. Это обозначается как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Таким образом, равные векторы — это, по сути, один и тот же вектор, который может быть отложен от разных точек пространства.

Любой нулевой вектор (вектор, у которого начало и конец совпадают, а длина равна нулю) по определению считается равным любому другому нулевому вектору.

Равенство векторов в координатах

Если векторы заданы своими координатами, то они равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Для векторов $\vec{a} = (x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b; z_b)$ в трехмерном пространстве, равенство $\vec{a} = \vec{b}$ эквивалентно выполнению системы уравнений:

$x_a = x_b$

$y_a = y_b$

$z_a = z_b$

Геометрический смысл

С геометрической точки зрения, равенство векторов означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса. Если отложить два равных вектора от одной и той же точки, то они полностью совпадут. Если вектор $\vec{AB}$ (с началом в точке $A$ и концом в точке $B$) равен вектору $\vec{CD}$, то это означает, что фигура $ABDC$ является параллелограммом (или точки $A, B, C, D$ лежат на одной прямой).

Ответ: Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое направление (сонаправлены) и одинаковую длину (модуль). В координатах это означает, что их соответствующие компоненты равны.