Номер 8, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 10. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 8, страница 244.

8 Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство а + 0 = а.

Для доказательства равенства $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ можно использовать два подхода: геометрический (основанный на правилах сложения векторов) и алгебраический (основанный на координатах векторов).

1. Геометрическое доказательство

Вектор — это направленный отрезок. Пусть дан произвольный вектор $\vec{a}$. Мы можем представить его как вектор $\vec{AB}$, где $A$ — его начальная точка, а $B$ — конечная. Таким образом, $\vec{a} = \vec{AB}$.

Нулевой вектор $\vec{0}$ — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его можно представить как вектор, идущий из любой точки в саму себя, например, $\vec{BB}$ или $\vec{AA}$.

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника: чтобы сложить два вектора, нужно от конца первого вектора отложить второй. Суммой будет вектор, идущий от начала первого к концу второго. В виде формулы: $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

Применим это правило для сложения векторов $\vec{a}$ и $\vec{0}$. Чтобы сложить $\vec{AB}$ и $\vec{0}$, отложим нулевой вектор от точки $B$. Получим вектор $\vec{BB}$.

Тогда сумма будет выглядеть так:

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{AB} + \vec{BB}$

По правилу треугольника, результирующий вектор начинается в точке $A$ (начало первого вектора) и заканчивается в точке $B$ (конец второго вектора). Значит:

$\vec{AB} + \vec{BB} = \vec{AB}$

А поскольку $\vec{AB} = \vec{a}$, мы доказали, что $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

2. Координатное доказательство

Рассмотрим векторы в системе координат. Пусть в n-мерном пространстве вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1, a_2, ..., a_n)$.

Нулевой вектор $\vec{0}$ в той же системе координат имеет все координаты, равные нулю: $(0, 0, ..., 0)$.

По определению, сложение векторов в координатах производится путем сложения их соответствующих компонент. То есть, если $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, то координаты вектора $\vec{c}$ равны $(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)$.

Вычислим сумму $\vec{a} + \vec{0}$:

$\vec{a} + \vec{0} = (a_1, a_2, ..., a_n) + (0, 0, ..., 0) = (a_1+0, a_2+0, ..., a_n+0)$

Так как сложение с нулем не изменяет число ($x+0=x$), получаем:

$(a_1+0, a_2+0, ..., a_n+0) = (a_1, a_2, ..., a_n)$

Полученные координаты в точности совпадают с координатами вектора $\vec{a}$. Следовательно, $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Оба метода доказывают, что равенство справедливо для любого вектора $\vec{a}$.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ доказано. Сложение любого вектора с нулевым вектором не изменяет исходный вектор, так как нулевой вектор соответствует нулевому смещению в пространстве.