Номер 13, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 10. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 13, страница 244.

13 Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Какой вектор называется противоположным данному?

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины (модули) равны, а направления противоположны. Вектором, противоположным нулевому вектору, является сам нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается как $-\vec{a}$.

Свойства противоположных векторов:

• $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$ (длины равны).
• Если $\vec{a} \neq \vec{0}$, то векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow -\vec{a}$).
• Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Геометрически, если вектор представлен направленным отрезком $\vec{AB}$, то противоположным ему будет вектор $\vec{BA}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Ответ: Противоположным данному вектору $\vec{a}$ называется такой вектор $-\vec{a}$, который имеет ту же длину, что и $\vec{a}$, но противоположное ему направление. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Определение разности векторов: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это записывается как $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, и из определения следует, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Формулировка теоремы: Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их разность равна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Иначе говоря, справедливо равенство:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Доказательство:

По определению разности векторов, нам нужно найти такой вектор $\vec{c}$, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$. Докажем, что вектор $\vec{d} = \vec{a} + (-\vec{b})$ и есть искомый вектор $\vec{c}$.

Для этого покажем, что сумма вектора $\vec{d}$ и вектора $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$.

Рассмотрим сумму $\vec{d} + \vec{b}$:$\vec{d} + \vec{b} = (\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b}$

Используя ассоциативное (сочетательное) свойство сложения векторов, сгруппируем слагаемые:

$(\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b} = \vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b})$

Сумма противоположных векторов $(-\vec{b}) + \vec{b}$ равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$\vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b}) = \vec{a} + \vec{0}$

Сумма любого вектора с нулевым вектором равна самому этому вектору:

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Мы получили, что $(\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b} = \vec{a}$, что полностью соответствует определению разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$. Следовательно, вектор $\vec{a} + (-\vec{b})$ и есть разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о разности векторов гласит, что для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их разность эквивалентна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$, то есть $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Доказательство строится на определении разности и свойствах сложения векторов.