Номер 17, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Вопросы для повторения к главе 10 - номер 17, страница 244.

Условие.

17 Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Умножение вектора на число (скаляр) — это операция, в результате которой получается новый вектор, коллинеарный исходному. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — произвольные векторы, а $k$ и $m$ — произвольные действительные числа (скаляры). Для этой операции справедливы следующие основные свойства:

• Сочетательный закон (ассоциативность)

  Для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k$ и $m$ выполняется равенство: $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$. Это свойство означает, что можно сначала перемножить числа, а затем результат умножить на вектор, либо умножать вектор на числа последовательно.

• Первый распределительный закон (дистрибутивность относительно сложения векторов)

  Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого числа $k$ выполняется равенство: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$. Это свойство позволяет умножить число на каждый из слагаемых векторов по отдельности, а затем сложить результаты.

• Второй распределительный закон (дистрибутивность относительно сложения чисел)

  Для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k$ и $m$ выполняется равенство: $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$. Это свойство позволяет умножить вектор на каждое из слагаемых чисел по отдельности, а затем сложить полученные векторы.

• Свойство умножения на единицу

  Для любого вектора $\vec{a}$ выполняется равенство: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$. Умножение вектора на число 1 не изменяет его, то есть число 1 является нейтральным элементом для данной операции.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов составляют аксиомы линейного (или векторного) пространства.

Ответ: Основные свойства умножения вектора на число для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и чисел $k, m$:
1. Сочетательный закон: $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$.
2. Распределительный закон относительно сложения векторов: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.
3. Распределительный закон относительно сложения чисел: $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$.
4. Свойство умножения на единицу: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.