Номер 18, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 10. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 18, страница 244.

18 Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.

Векторный метод является мощным инструментом для решения многих геометрических задач. Он позволяет перевести геометрические утверждения на язык алгебры, что часто упрощает рассуждения и выкладки. Рассмотрим в качестве примера доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника.

Задача

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство

Пусть дан треугольник $ABC$. Для удобства вычислений выберем начало координат в одной из вершин, например, в точке $A$. Тогда радиус-вектор точки $A$ равен нулевому вектору: $\vec{AA} = \vec{0}$. Радиус-векторы вершин $B$ и $C$ обозначим как $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{c}$. Поскольку $A, B, C$ — вершины треугольника, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны (линейно независимы).

Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианами треугольника являются отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Выразим радиус-векторы середин сторон относительно точки $A$:

• $A_1$ — середина $BC$. По правилу параллелограмма (или по формуле деления отрезка пополам), радиус-вектор точки $A_1$ равен $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
• $B_1$ — середина $AC$. Ее радиус-вектор: $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
• $C_1$ — середина $AB$. Ее радиус-вектор: $\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$. Так как точка $M$ лежит на медиане $AA_1$, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ коллинеарен вектору $\vec{AA_1}$. Значит, существует такое число $x$, что:

$\vec{AM} = x \cdot \vec{AA_1} = x \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{x}{2}\vec{b} + \frac{x}{2}\vec{c}$

С другой стороны, точка $M$ лежит на отрезке $BB_1$. Следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ можно выразить через радиус-векторы концов отрезка $B$ и $B_1$ по правилу треугольника: $\vec{AM}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AB_1}$ (поскольку M лежит на прямой $BB_1$). Существует такое число $y$, что $M$ делит $BB_1$ в отношении $y:(1-y)$, и тогда:

$\vec{AM} = (1-y)\vec{AB} + y\vec{AB_1} = (1-y)\vec{b} + y(\frac{1}{2}\vec{c}) = (1-y)\vec{b} + \frac{y}{2}\vec{c}$

Так как оба выражения определяют радиус-вектор одной и той же точки $M$, мы можем их приравнять:

$\frac{x}{2}\vec{b} + \frac{x}{2}\vec{c} = (1-y)\vec{b} + \frac{y}{2}\vec{c}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(\frac{x}{2} - (1-y))\vec{b} + (\frac{x}{2} - \frac{y}{2})\vec{c} = \vec{0}$

Поскольку векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ линейно независимы, это равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю. Это дает нам систему уравнений:

$$\begin{cases}\frac{x}{2} - 1 + y = 0 \\\frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 0\end{cases}$$

Из второго уравнения следует, что $x=y$. Подставим это в первое уравнение:

$\frac{x}{2} - 1 + x = 0$

$\frac{3x}{2} = 1$

$x = \frac{2}{3}$

Таким образом, $x = y = \frac{2}{3}$.

Значение $x = 2/3$ означает, что $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AA_1}$. Это значит, что точка $M$ лежит на медиане $AA_1$ и делит ее в отношении $AM : MA_1 = 2:1$.

Значение $y = 2/3$ означает, что точка $M$ делит медиану $BB_1$ в отношении $BM : MB_1 = y : (1-y) = \frac{2}{3} : (1-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2:1$.

Радиус-вектор точки пересечения $M$: $\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь докажем, что третья медиана $CC_1$ также проходит через эту точку. Найдем на медиане $CC_1$ точку $N$, которая делит ее в отношении $CN : NC_1 = 2:1$. Выразим ее радиус-вектор $\vec{AN}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AN} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 2 \cdot \vec{AC_1}}{1+2} = \frac{1}{3}(\vec{AC} + 2\vec{AC_1}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + 2 \cdot \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + \vec{b})$

Сравнивая радиус-векторы точек $M$ и $N$, видим, что $\vec{AM} = \vec{AN}$. Это означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной и той же точке $M$, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: В качестве примера приведено векторное доказательство теоремы о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (которую также называют центром масс или центроидом треугольника), и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.