Номер 18, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Вопросы для повторения к главе 10 - номер 18, страница 244.

Условие.

18 Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Векторный метод является мощным инструментом для решения многих геометрических задач. Он позволяет перевести геометрические утверждения на язык алгебры, что часто упрощает рассуждения и выкладки. Рассмотрим в качестве примера доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника.

Задача

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство

Пусть дан треугольник $ABC$. Для удобства вычислений выберем начало координат в одной из вершин, например, в точке $A$. Тогда радиус-вектор точки $A$ равен нулевому вектору: $\vec{AA} = \vec{0}$. Радиус-векторы вершин $B$ и $C$ обозначим как $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{c}$. Поскольку $A, B, C$ — вершины треугольника, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны (линейно независимы).

Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианами треугольника являются отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Выразим радиус-векторы середин сторон относительно точки $A$:

• $A_1$ — середина $BC$. По правилу параллелограмма (или по формуле деления отрезка пополам), радиус-вектор точки $A_1$ равен $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
• $B_1$ — середина $AC$. Ее радиус-вектор: $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
• $C_1$ — середина $AB$. Ее радиус-вектор: $\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$. Так как точка $M$ лежит на медиане $AA_1$, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ коллинеарен вектору $\vec{AA_1}$. Значит, существует такое число $x$, что:

$\vec{AM} = x \cdot \vec{AA_1} = x \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{x}{2}\vec{b} + \frac{x}{2}\vec{c}$

С другой стороны, точка $M$ лежит на отрезке $BB_1$. Следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ можно выразить через радиус-векторы концов отрезка $B$ и $B_1$ по правилу треугольника: $\vec{AM}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AB_1}$ (поскольку M лежит на прямой $BB_1$). Существует такое число $y$, что $M$ делит $BB_1$ в отношении $y:(1-y)$, и тогда:

$\vec{AM} = (1-y)\vec{AB} + y\vec{AB_1} = (1-y)\vec{b} + y(\frac{1}{2}\vec{c}) = (1-y)\vec{b} + \frac{y}{2}\vec{c}$

Так как оба выражения определяют радиус-вектор одной и той же точки $M$, мы можем их приравнять:

$\frac{x}{2}\vec{b} + \frac{x}{2}\vec{c} = (1-y)\vec{b} + \frac{y}{2}\vec{c}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(\frac{x}{2} - (1-y))\vec{b} + (\frac{x}{2} - \frac{y}{2})\vec{c} = \vec{0}$

Поскольку векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ линейно независимы, это равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю. Это дает нам систему уравнений:

$$\begin{cases}\frac{x}{2} - 1 + y = 0 \\\frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 0\end{cases}$$

Из второго уравнения следует, что $x=y$. Подставим это в первое уравнение:

$\frac{x}{2} - 1 + x = 0$

$\frac{3x}{2} = 1$

$x = \frac{2}{3}$

Таким образом, $x = y = \frac{2}{3}$.

Значение $x = 2/3$ означает, что $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AA_1}$. Это значит, что точка $M$ лежит на медиане $AA_1$ и делит ее в отношении $AM : MA_1 = 2:1$.

Значение $y = 2/3$ означает, что точка $M$ делит медиану $BB_1$ в отношении $BM : MB_1 = y : (1-y) = \frac{2}{3} : (1-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2:1$.

Радиус-вектор точки пересечения $M$: $\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь докажем, что третья медиана $CC_1$ также проходит через эту точку. Найдем на медиане $CC_1$ точку $N$, которая делит ее в отношении $CN : NC_1 = 2:1$. Выразим ее радиус-вектор $\vec{AN}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AN} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 2 \cdot \vec{AC_1}}{1+2} = \frac{1}{3}(\vec{AC} + 2\vec{AC_1}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + 2 \cdot \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + \vec{b})$

Сравнивая радиус-векторы точек $M$ и $N$, видим, что $\vec{AM} = \vec{AN}$. Это означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной и той же точке $M$, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: В качестве примера приведено векторное доказательство теоремы о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (которую также называют центром масс или центроидом треугольника), и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.