Номер 990, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 990, страница 244.

990 На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = ВА и b = ВС.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AN}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{AN}$ как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $N$ через точку $B$:

$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}$

Теперь выразим каждый из векторов в правой части равенства через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$. По условию $\vec{a} = \vec{BA}$, следовательно:
$\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$

2. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление). Это означает, что $\vec{BN} = k \cdot \vec{BC}$, где $k$ — положительный коэффициент, равный отношению длин $BN$ и $BC$.

Из условия задачи нам известно, что $BN = 2NC$.
Длина всего отрезка $BC$ складывается из длин его частей: $BC = BN + NC$.
Заменим $NC$ на $\frac{1}{2}BN$ в этом выражении:
$BC = BN + \frac{1}{2}BN = \frac{3}{2}BN$
Отсюда мы можем найти отношение длины $BN$ к длине $BC$:
$BN = \frac{2}{3}BC$
Так как векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, то же соотношение справедливо и для векторов:
$\vec{BN} = \frac{2}{3}\vec{BC}$
Поскольку по условию $\vec{b} = \vec{BC}$, получаем:
$\vec{BN} = \frac{2}{3}\vec{b}$

3. Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$ в исходную формулу для $\vec{AN}$:
$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$