Номер 996, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 996, страница 245.

996 Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и бо́льшая боковая сторона трапеции равны а.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой AB и DC являются основаниями (AB || DC), а боковая сторона AD перпендикулярна основаниям. В такой трапеции углы при стороне AD прямые: ?A = ?D = 90°. Сумма углов, прилежащих к другой боковой стороне BC, составляет 180°, то есть ?B + ?C = 180°.

Заданный в условии угол в 120° не может быть ?A или ?D. Проведем высоту BH из вершины B на основание DC. В получившемся прямоугольном треугольнике BHC угол C должен быть острым (?C < 90°). Следовательно, тупым является угол ?B = 120°, а острым — угол ?C = 180° - 120° = 60°.

Боковыми сторонами трапеции являются AD и BC. Так как BC — гипотенуза прямоугольного треугольника BHC, а катет BH равен высоте трапеции AD, то BC > BH = AD. Следовательно, BC — бoльшая боковая сторона. По условию её длина равна $a$, то есть BC = $a$.

Диагоналями трапеции являются AC и BD. Сравним их длины, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике ADC имеем $AC^2 = AD^2 + DC^2$. В прямоугольном треугольнике ABD имеем $BD^2 = AD^2 + AB^2$. Так как DC — большее основание, а AB — меньшее (DC > AB), то $DC^2 > AB^2$, а значит $AC^2 > BD^2$, откуда следует, что AC > BD. Таким образом, меньшая диагональ — это BD. По условию её длина также равна $a$, то есть BD = $a$.

Рассмотрим треугольник BDC. Его стороны BC и BD равны $a$. Следовательно, треугольник BDC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, лежащий напротив стороны BC, — это ?BDC. Угол, лежащий напротив стороны BD, — это ?BCD. Таким образом, ?BDC = ?BCD. Мы уже установили, что угол трапеции ?C (то есть ?BCD) равен 60°. Отсюда следует, что ?BDC = 60°. Так как два угла в треугольнике BDC равны 60°, то и третий угол ?CBD = 180° - (60° + 60°) = 60°. Следовательно, треугольник BDC является равносторонним, и все его стороны равны $a$. Мы нашли длину большего основания: DC = $a$.

Теперь найдем длину меньшего основания AB. Для этого сначала определим высоту трапеции AD. В прямоугольном треугольнике BHC известна гипотенуза BC = $a$ и угол ?C = 60°. Высота трапеции AD равна катету BH. Найдем BH:
$BH = BC \cdot \sin(\angle C) = a \cdot \sin(60^{\circ}) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $AD = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем известна гипотенуза BD = $a$ и катет $AD = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора найдем второй катет AB:
$AB^2 + AD^2 = BD^2$
$AB^2 + (a \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = a^2$
$AB^2 + \frac{3a^2}{4} = a^2$
$AB^2 = a^2 - \frac{3a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$
$AB = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.
Длина меньшего основания $AB = \frac{a}{2}$.

Средняя линия трапеции ($m$) равна полусумме ее оснований:
$m = \frac{AB + DC}{2}$
Подставим найденные значения оснований:
$m = \frac{\frac{a}{2} + a}{2} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} = \frac{3a}{4}$.

Ответ: $\frac{3a}{4}$.