Номер 999, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 999, страница 251.

999 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) AC = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) AB = kDC; д) BC = kDA; e) AM = kCA; ж) МС = kАМ; з) AC = kCM; и) АО = kBD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $O$ — середина $AC$ и $BD$. По условию, $M$ — середина отрезка $AO$.

Из этих условий следуют векторные равенства:

• $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$
• $\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$
• $\vec{AM} = \vec{MO} = \frac{1}{2}\vec{AO}$
• $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$

а) $\vec{AC} = k \vec{AO}$

Так как $O$ — середина $AC$, то вектор $\vec{AC}$ сонаправлен с вектором $\vec{AO}$ и его длина вдвое больше. Следовательно, $\vec{AC} = 2\vec{AO}$.

Ответ: $k=2$.

б) $\vec{BO} = k \vec{BD}$

Поскольку $O$ — середина $BD$, вектор $\vec{BO}$ сонаправлен с вектором $\vec{BD}$ и его длина составляет половину длины $\vec{BD}$. Таким образом, $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

Ответ: $k=\frac{1}{2}$.

в) $\vec{OC} = k \vec{CA}$

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{CA}$ коллинеарны, но противоположно направлены. Значит, $k$ будет отрицательным. Мы знаем, что $\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CA} = -\vec{AC}$, откуда $\vec{AC} = -\vec{CA}$. Подставим это в первое равенство: $\vec{OC} = \frac{1}{2}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{2}\vec{CA}$.

Ответ: $k=-\frac{1}{2}$.

г) $\vec{AB} = k \vec{DC}$

По определению параллелограмма, векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. Таким образом, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Ответ: $k=1$.

д) $\vec{BC} = k \vec{DA}$

Для параллелограмма верно равенство $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Заменим $\vec{AD}$ на $\vec{BC}$: $\vec{DA} = -\vec{BC}$. Исходное равенство принимает вид $\vec{BC} = k(-\vec{BC})$, откуда $k=-1$.

Ответ: $k=-1$.

е) $\vec{AM} = k \vec{CA}$

По условию $M$ — середина $AO$, значит $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AO}$. Так как $O$ — середина $AC$, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Объединяя эти два равенства, получаем: $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = -\vec{CA}$, то $\vec{AM} = \frac{1}{4}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{4}\vec{CA}$.

Ответ: $k=-\frac{1}{4}$.

ж) $\vec{MC} = k \vec{AM}$

Выразим оба вектора через $\vec{AC}$. Из пункта е) имеем $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{MC}$ можно представить в виде разности: $\vec{MC} = \vec{AC} - \vec{AM} = \vec{AC} - \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Подставляем в искомое равенство: $\frac{3}{4}\vec{AC} = k \cdot (\frac{1}{4}\vec{AC})$. Так как $\vec{AC}$ не является нулевым вектором, можем сократить, получив $k=3$.

Ответ: $k=3$.

з) $\vec{AC} = k \vec{CM}$

Из пункта ж) мы нашли, что $\vec{MC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CM}$ противоположен $\vec{MC}$, поэтому $\vec{CM} = -\vec{MC} = -\frac{3}{4}\vec{AC}$. Выразим из этого равенства $\vec{AC}$: $\vec{AC} = -\frac{4}{3}\vec{CM}$.

Ответ: $k=-\frac{4}{3}$.

и) $\vec{AO} = k \vec{BD}$

Вектор $\vec{AO}$ лежит на диагонали $AC$, а вектор $\vec{BD}$ — это вторая диагональ. В общем случае (если параллелограмм не является вырожденным) эти векторы не коллинеарны. Равенство $\vec{a} = k \vec{b}$ для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется только тогда, когда они коллинеарны. Поскольку векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны, такое число $k$ подобрать невозможно.

Ответ: Найти такое число $k$ невозможно.