Номер 1002, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1002 Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причём АМ : МС = 4 : 1. Разложите вектор AM по векторам a = AB и b = AD.

Поскольку точка $M$ лежит на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны и сонаправлены. Это означает, что вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ с помощью некоторого положительного коэффициента $k$:

$\vec{AM} = k \cdot \vec{AC}$

Из условия задачи известно соотношение длин отрезков $AM : MC = 4 : 1$. Это значит, что длина отрезка $AM$ составляет 4 части, а длина отрезка $MC$ – 1 часть. Следовательно, вся диагональ $AC$ состоит из $4 + 1 = 5$ таких частей. Отношение длины $AM$ к длине всей диагонали $AC$ равно:

$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$

Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, то коэффициент $k$ равен этому отношению:

$\vec{AM} = \frac{4}{5} \vec{AC}$

Теперь выразим вектор диагонали $\vec{AC}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$. По правилу сложения векторов в параллелограмме (правилу параллелограмма), вектор диагонали, исходящей из общей вершины, равен сумме векторов сторон, исходящих из этой же вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Подставляя обозначения векторов из условия, получаем:

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \frac{4}{5} (\vec{a} + \vec{b})$

Раскрыв скобки, получим окончательное разложение вектора $\vec{AM}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$