Номер 1003, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 1003, страница 251.

1003 Векторы a и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3a − xb = уа + b; б) 4а − xа + 5b + yb = 0; в) ха + 3b − уb = 0; г) а + b − 3уa + xb = 0.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, они являются линейно независимыми. Это означает, что равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ выполняется только тогда, когда коэффициенты $m$ и $n$ равны нулю, то есть $m=0$ и $n=0$. Мы будем использовать это свойство для решения каждой из задач.

а) $3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к виду $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$:

$3\vec{a} - y\vec{a} - x\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(3 - y)\vec{a} + (-x - 1)\vec{b} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 3 - y = 0 \\ -x - 1 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, находим:

$y = 3$

$x = -1$

Ответ: $x = -1, y = 3$.

б) $4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(4 - x)\vec{a} + (5 + y)\vec{b} = \vec{0}$

Так как векторы не коллинеарны, приравниваем коэффициенты к нулю:

$\begin{cases} 4 - x = 0 \\ 5 + y = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$x = 4$

$y = -5$

Ответ: $x = 4, y = -5$.

в) $x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторе $\vec{b}$:

$x\vec{a} + (3 - y)\vec{b} = \vec{0}$

Приравниваем коэффициенты к нулю:

$\begin{cases} x = 0 \\ 3 - y = 0 \end{cases}$

Из системы уравнений следует:

$x = 0$

$y = 3$

Ответ: $x = 0, y = 3$.

г) $\vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(1 - 3y)\vec{a} + (1 + x)\vec{b} = \vec{0}$

Приравниваем коэффициенты к нулю:

$\begin{cases} 1 - 3y = 0 \\ 1 + x = 0 \end{cases}$

Решая систему, находим:

$3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$

$x = -1$

Ответ: $x = -1, y = \frac{1}{3}$.