Номер 1007, страница 252 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 1007, страница 252.

1007 Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора: а) х {−3; 15}; б) y {−2; −3}; в) z {−1; 0}; г) u {0; 3}; д) v {0; 1}.

Разложение произвольного вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_a; y_a\}$ по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ представляет собой выражение вида $\vec{a} = x_a\vec{i} + y_a\vec{j}$. В этом выражении $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$ — это единичные векторы (орты), направленные вдоль осей координат Ox и Oy соответственно. Коэффициенты при векторах $\vec{i}$ и $\vec{j}$ в разложении равны соответствующим координатам исходного вектора.

а) Вектор $\vec{x}$ имеет координаты $\{-3; \frac{1}{5}\}$. Его первая координата (абсцисса) равна $-3$, а вторая координата (ордината) равна $\frac{1}{5}$. Чтобы записать разложение этого вектора по координатным векторам, нужно умножить вектор $\vec{i}$ на абсциссу, а вектор $\vec{j}$ — на ординату, и сложить полученные произведения.
Таким образом, получаем: $\vec{x} = -3 \cdot \vec{i} + \frac{1}{5} \cdot \vec{j}$.
Ответ: $\vec{x} = -3\vec{i} + \frac{1}{5}\vec{j}$.

б) Вектор $\vec{y}$ имеет координаты $\{-2; -3\}$. Его абсцисса равна $-2$, а ордината равна $-3$. Разложение по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ будет выглядеть как сумма произведения абсциссы на вектор $\vec{i}$ и произведения ординаты на вектор $\vec{j}$.
Получаем: $\vec{y} = -2 \cdot \vec{i} + (-3) \cdot \vec{j} = -2\vec{i} - 3\vec{j}$.
Ответ: $\vec{y} = -2\vec{i} - 3\vec{j}$.

в) Координаты вектора $\vec{z}$ равны $\{-1; 0\}$. Абсцисса равна $-1$, а ордината равна $0$. Следуя общему правилу разложения, получаем: $\vec{z} = -1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}$. Так как умножение на ноль дает ноль, второе слагаемое исчезает ($0 \cdot \vec{j} = \vec{0}$). Умножение на $-1$ можно записать как просто знак минус.
Таким образом, разложение упрощается до $\vec{z} = -\vec{i}$.
Ответ: $\vec{z} = -\vec{i}$.

г) Вектор $\vec{u}$ задан координатами $\{0; 3\}$. Его абсцисса равна $0$, а ордината равна $3$. Разложение по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ имеет вид: $\vec{u} = 0 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j}$.
Первое слагаемое равно нулевому вектору ($0 \cdot \vec{i} = \vec{0}$), поэтому разложение упрощается до $\vec{u} = 3\vec{j}$.
Ответ: $\vec{u} = 3\vec{j}$.

д) Координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{0; 1\}$. Абсцисса равна $0$, а ордината равна $1$. Записываем разложение: $\vec{v} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j}$.
Первое слагаемое равно нулевому вектору, а умножение на $1$ не меняет вектор. В результате получаем $\vec{v} = \vec{j}$. Этот вектор совпадает с координатным вектором $\vec{j}$.
Ответ: $\vec{v} = \vec{j}$.