Номер 1013, страница 252 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 1013, страница 252.

1013 Найдите координаты вектора v, если:

а) v = 3а − 3b, a {2; −5}, b {−5; 2};

б) v = 2a − 3b + 4c, a {4; 1}, b {1; 2}, c {2; 7};

в) v = 3a − 2b − 12c, а {−7; −1}, b {−1; 7}, c {4; −6};

г) v = a − b − c, а {7; −2}, b {2; 5}, c {−3; 3}.

а)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = 3\vec{a} - 3\vec{b}$ необходимо выполнить соответствующие операции с координатами векторов $\vec{a}\{2; -5\}$ и $\vec{b}\{-5; 2\}$. Координаты вектора $\vec{v}\{v_x; v_y\}$ вычисляются как линейная комбинация соответствующих координат исходных векторов.

Вычислим координату $v_x$:

$v_x = 3 \cdot a_x - 3 \cdot b_x = 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-5) = 6 + 15 = 21$

Вычислим координату $v_y$:

$v_y = 3 \cdot a_y - 3 \cdot b_y = 3 \cdot (-5) - 3 \cdot 2 = -15 - 6 = -21$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{21; -21\}$.

Ответ: $\vec{v}\{21; -21\}$

б)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = 2\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}$ применим правила линейных операций над векторами в координатах. Даны векторы $\vec{a}\{4; 1\}$, $\vec{b}\{1; 2\}$ и $\vec{c}\{2; 7\}$.

Вычислим координату $v_x$ вектора $\vec{v}$:

$v_x = 2 \cdot a_x - 3 \cdot b_x + 4 \cdot c_x = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 8 - 3 + 8 = 13$

Вычислим координату $v_y$ вектора $\vec{v}$:

$v_y = 2 \cdot a_y - 3 \cdot b_y + 4 \cdot c_y = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 7 = 2 - 6 + 28 = 24$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{13; 24\}$.

Ответ: $\vec{v}\{13; 24\}$

в)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = 3\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$ воспользуемся правилами операций с векторами в координатной форме. Даны векторы $\vec{a}\{-7; -1\}$, $\vec{b}\{-1; 7\}$ и $\vec{c}\{4; -6\}$.

Вычислим координату $v_x$ вектора $\vec{v}$:

$v_x = 3 \cdot a_x - 2 \cdot b_x - \frac{1}{2} \cdot c_x = 3 \cdot (-7) - 2 \cdot (-1) - \frac{1}{2} \cdot 4 = -21 + 2 - 2 = -21$

Вычислим координату $v_y$ вектора $\vec{v}$:

$v_y = 3 \cdot a_y - 2 \cdot b_y - \frac{1}{2} \cdot c_y = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 7 - \frac{1}{2} \cdot (-6) = -3 - 14 + 3 = -14$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{-21; -14\}$.

Ответ: $\vec{v}\{-21; -14\}$

г)

Для нахождения координат вектора $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ применим правила сложения и вычитания векторов в координатах. Даны векторы $\vec{a}\{7; -2\}$, $\vec{b}\{2; 5\}$ и $\vec{c}\{-3; 3\}$.

Вычислим координату $v_x$ вектора $\vec{v}$:

$v_x = a_x - b_x - c_x = 7 - 2 - (-3) = 5 + 3 = 8$

Вычислим координату $v_y$ вектора $\vec{v}$:

$v_y = a_y - b_y - c_y = -2 - 5 - 3 = -7 - 3 = -10$

Таким образом, координаты вектора $\vec{v}$ равны $\{8; -10\}$.

Ответ: $\vec{v}\{8; -10\}$