Номер 1017, страница 256 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1017, страница 256.

1017 Корабль проплывает от пункта А сначала 100 км на восток, а потом 75 км на север. В системе координат, указанной на рисунке 314, изобразите результирующее перемещение как вектор $\overrightarrow{a}.$ Найдите координаты вектора $\overrightarrow{a}.$

Для решения задачи определим систему координат, как показано на рисунке 314. Горизонтальная ось (ось абсцисс) соответствует направлению на восток, а вертикальная ось (ось ординат) — направлению на север. Масштаб по обеим осям: 1 клетка = 10 км.

Задача состоит из двух частей: изобразить результирующее перемещение и найти его координаты.

Изобразите результирующее перемещение как вектор $\vec{a}$

Перемещение корабля начинается в точке А. Из рисунка видно, что координаты точки А равны $(25, 0)$.

1. Первое перемещение — 100 км на восток. Это соответствует смещению вправо по горизонтали на 100 единиц. Новая точка будет иметь координаты $(25 + 100, 0) = (125, 0)$.

2. Второе перемещение — 75 км на север из текущего положения. Это соответствует смещению вверх по вертикали на 75 единиц. Конечная точка B будет иметь координаты $(125, 0 + 75) = (125, 75)$.

Результирующий вектор перемещения $\vec{a}$ — это вектор, который начинается в начальной точке A$(25, 0)$ и заканчивается в конечной точке B$(125, 75)$. На графике его следует изобразить в виде стрелки от A к B.

Найдите координаты вектора $\vec{a}$

Координаты вектора перемещения равны разности координат его конечной и начальной точек. Если начало вектора в точке A$(x_1, y_1)$ и конец в точке B$(x_2, y_2)$, то его координаты $(x_a, y_a)$ вычисляются по формуле:

$x_a = x_2 - x_1$
$y_a = y_2 - y_1$

В нашем случае A$(25, 0)$ и B$(125, 75)$. Подставим значения:

$x_a = 125 - 25 = 100$
$y_a = 75 - 0 = 75$

Альтернативно, можно найти координаты результирующего вектора, сложив векторы отдельных перемещений.

Вектор перемещения на восток на 100 км: $\vec{v_1} = (100, 0)$.
Вектор перемещения на север на 75 км: $\vec{v_2} = (0, 75)$.

Результирующий вектор $\vec{a}$ является их суммой:

$\vec{a} = \vec{v_1} + \vec{v_2} = (100 + 0, 0 + 75) = (100, 75)$.

Оба способа дают одинаковый результат. Координаты вектора $\vec{a}$ показывают общее смещение по оси "Восток" (100 км) и по оси "Север" (75 км).

Ответ: Координаты вектора $\vec{a}$ равны $(100; 75)$.