Номер 1018, страница 256 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1018, страница 256.

1018 Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (−3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек M, N и Q.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами диагоналей квадрата: они равны по длине, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По условию, точка пересечения диагоналей — это начало координат O(0, 0).

В квадрате MNPQ вершины перечисляются последовательно, следовательно, его диагоналями являются отрезки MP и NQ.

Координаты точки M

Вершина M расположена на одной диагонали с вершиной P и симметрична ей относительно центра квадрата O(0, 0). Координаты точки P даны: $(-3; 3)$. Координаты точки, симметричной точке $(x_P; y_P)$ относительно начала координат, находятся по формулам $x_M = -x_P$ и $y_M = -y_P$.

$x_M = -(-3) = 3$

$y_M = -(3) = -3$

Ответ: Координаты точки M: $(3; -3)$.

Координаты точки N

Диагональ NQ перпендикулярна диагонали MP. Это означает, что для нахождения вершин N и Q можно повернуть вектор $\vec{OP}$ на 90° и -90°. Вектор $\vec{OP}$ имеет координаты $(-3; 3)$. Чтобы сохранить последовательность вершин MNPQ, применим поворот на 90° по часовой стрелке (на -90°) к точке P. Формула поворота точки $(x; y)$ на -90° вокруг начала координат: $(y; -x)$.

$N = (3; -(-3)) = (3; 3)$

Этот выбор обеспечивает последовательный обход вершин M(3; -3) > N(3; 3) > P(-3; 3) против часовой стрелки.

Ответ: Координаты точки N: $(3; 3)$.

Координаты точки Q

Вершина Q симметрична вершине N относительно центра O(0, 0), так как они лежат на одной диагонали NQ. Используя найденные координаты N(3; 3), найдем координаты Q по формулам центральной симметрии:

$x_Q = -x_N = -(3) = -3$

$y_Q = -y_N = -(3) = -3$

Также можно было найти Q, повернув P на 90° против часовой стрелки, что дало бы тот же результат: $(-3; -3)$.

Ответ: Координаты точки Q: $(-3; -3)$.