Номер 1015, страница 252 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 1015, страница 252.

1015 Даны векторы а {3; 7}, b {−2; 1}, c {6; 14}, d {2; −1}, е {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.

Два ненулевых вектора на плоскости $\vec{u}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{v}\{x_2; y_2\}$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Условие пропорциональности координат можно записать в виде равенства отношений: $$ \frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = k $$ (при условии, что $x_1 \neq 0$ и $y_1 \neq 0$).

Даны векторы: $\vec{a}\{3; 7\}$, $\vec{b}\{-2; 1\}$, $\vec{c}\{6; 14\}$, $\vec{d}\{2; -1\}$, $\vec{e}\{2; 4\}$.

Проверим попарно все векторы на коллинеарность, находя отношения их соответствующих координат.

Пара векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$
Сравним векторы $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{c}\{6; 14\}$.
Отношение x-координат: $\frac{6}{3} = 2$.
Отношение y-координат: $\frac{14}{7} = 2$.
Так как отношения равны ($2=2$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Выполняется равенство $\vec{c} = 2\vec{a}$.

Пара векторов $\vec{b}$ и $\vec{d}$
Сравним векторы $\vec{b}\{-2; 1\}$ и $\vec{d}\{2; -1\}$.
Отношение x-координат: $\frac{2}{-2} = -1$.
Отношение y-координат: $\frac{-1}{1} = -1$.
Так как отношения равны ($-1=-1$), векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ коллинеарны. Выполняется равенство $\vec{d} = -1 \cdot \vec{b}$.

Проверка других пар
Для остальных пар векторов условие коллинеарности не выполняется. Например, для векторов $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{e}\{2; 4\}$:
$\frac{2}{3} \neq \frac{4}{7}$, так как $2 \cdot 7 \neq 3 \cdot 4$ ($14 \neq 12$).
Аналогично, можно убедиться, что другие пары, например ($\vec{a}$ и $\vec{b}$), ($\vec{c}$ и $\vec{e}$), не являются коллинеарными.

Ответ: попарно коллинеарными являются следующие пары векторов: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.