Номер 1022, страница 256 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1022, страница 256.

1022 Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и найдите x и у:

А	(0; 0)	(x; −3)		(а; b)	(1; 2)
В	(1; 1)	(2; −7)	(3; 1)
AB		{5; у}	{−3; −12}	{c; d}	{0; 0}

Для решения задачи используется формула для нахождения координат вектора по координатам его начала и конца. Если точка A имеет координаты $(x_A, y_A)$, а точка B имеет координаты $(x_B, y_B)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются следующим образом:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A\}$

Рассмотрим каждый столбец таблицы по отдельности.

Столбец 1

В этом столбце даны координаты точек $A(0; 0)$ и $B(1; 1)$. Необходимо найти координаты вектора $\vec{AB}$.

Применяем формулу:

$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 1 - 0 = 1$

$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 1 - 0 = 1$

Таким образом, пустая ячейка в этом столбце заполняется координатами $\{1; 1\}$.

Ответ: $\vec{AB} = \{1; 1\}$.

Столбец 2

Здесь даны координаты точки $A(x; -3)$, точки $B(2; -7)$ и вектора $\vec{AB} = \{5; y\}$. Требуется найти неизвестные $x$ и $y$.

Составим систему уравнений, исходя из формулы:

$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A \implies 5 = 2 - x$

$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A \implies y = -7 - (-3)$

Решаем первое уравнение относительно $x$:

$x = 2 - 5$

$x = -3$

Решаем второе уравнение относительно $y$:

$y = -7 + 3$

$y = -4$

Ответ: $x = -3$, $y = -4$.

Столбец 3

В этом столбце известны координаты точки $B(3; 1)$ и вектора $\vec{AB} = \{-3; -\frac{1}{2}\}$. Координаты точки $A$ обозначены как $(a; b)$, и их нужно найти.

Выразим координаты точки A из основной формулы:

$x_A = x_B - x_{\vec{AB}}$

$y_A = y_B - y_{\vec{AB}}$

Подставляем известные значения для нахождения $a$ и $b$:

$a = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$

$b = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Следовательно, координаты точки A равны $(6; \frac{3}{2})$.

Ответ: $A(6; \frac{3}{2})$.

Столбец 4

Здесь даны координаты точки $A(1; 2)$ и нулевого вектора $\vec{AB} = \{0; 0\}$. Необходимо найти координаты точки B.

Выразим координаты точки B из основной формулы:

$x_B = x_A + x_{\vec{AB}}$

$y_B = y_A + y_{\vec{AB}}$

Подставляем известные значения:

$x_B = 1 + 0 = 1$

$y_B = 2 + 0 = 2$

Координаты точки B совпадают с координатами точки A. Это означает, что начало и конец вектора находятся в одной точке.

Ответ: $B(1; 2)$.