Номер 1027, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1027, страница 257.

1027 Найдите расстояние между точками A и B, если:

а) А (2; 7), В (−2; 7);

б) А (−5; 1), В (−5; −7);

в) А (−3; 0), В (0; 4);

г) А (0; 3), В (−4; 0).

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на координатной плоскости используется формула расстояния, которая является следствием теоремы Пифагора:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
где $d$ — искомое расстояние.

а) Даны точки $A(2; 7)$ и $B(-2; 7)$.
Подставим их координаты ($x_1 = 2, y_1 = 7, x_2 = -2, y_2 = 7$) в формулу:
$d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (7 - 7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$.
Обратим внимание, что ординаты ($y$) точек одинаковы, значит, точки лежат на горизонтальной прямой. В таком случае расстояние можно найти как модуль разности их абсцисс ($x$):
$d = |x_2 - x_1| = |-2 - 2| = |-4| = 4$.
Ответ: 4

б) Даны точки $A(-5; 1)$ и $B(-5; -7)$.
Подставим их координаты ($x_1 = -5, y_1 = 1, x_2 = -5, y_2 = -7$) в формулу:
$d = \sqrt{(-5 - (-5))^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{(-5 + 5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{0^2 + 64} = \sqrt{64} = 8$.
В этом случае абсциссы ($x$) точек одинаковы, значит, точки лежат на вертикальной прямой. Расстояние равно модулю разности их ординат ($y$):
$d = |y_2 - y_1| = |-7 - 1| = |-8| = 8$.
Ответ: 8

в) Даны точки $A(-3; 0)$ и $B(0; 4)$.
Подставим их координаты ($x_1 = -3, y_1 = 0, x_2 = 0, y_2 = 4$) в формулу:
$d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

г) Даны точки $A(0; 3)$ и $B(-4; 0)$.
Подставим их координаты ($x_1 = 0, y_1 = 3, x_2 = -4, y_2 = 0$) в формулу:
$d = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5