Страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1024 Даны точки А (0; 1) и В (5; −3). Найдите координаты точек С и D, если известно, что точка В — середина отрезка АС, а точка D — середина отрезка ВС.

1. Нахождение координат точки C

По условию задачи точка $B$ является серединой отрезка $AC$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов. Пусть точка $C$ имеет координаты $(x_C; y_C)$.

Дано:

• Координаты точки $A(x_A; y_A)$ = $(0; 1)$
• Координаты точки $B(x_B; y_B)$ = $(5; -3)$

Формулы для координат середины отрезка:

$x_B = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_B = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим известные значения и выразим координаты точки $C$:

Для координаты $x_C$:

$5 = \frac{0 + x_C}{2}$

$5 \cdot 2 = x_C$

$x_C = 10$

Для координаты $y_C$:

$-3 = \frac{1 + y_C}{2}$

$-3 \cdot 2 = 1 + y_C$

$-6 = 1 + y_C$

$y_C = -6 - 1$

$y_C = -7$

Таким образом, координаты точки $C$ равны $(10; -7)$.

Ответ: $C(10; -7)$.

2. Нахождение координат точки D

По условию задачи точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Используем те же формулы для нахождения координат середины отрезка. Пусть точка $D$ имеет координаты $(x_D; y_D)$.

Дано:

• Координаты точки $B(x_B; y_B)$ = $(5; -3)$
• Координаты точки $C(x_C; y_C)$ = $(10; -7)$ (найдены в предыдущем пункте)

Формулы для координат точки $D$:

$x_D = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_D = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим известные значения:

Для координаты $x_D$:

$x_D = \frac{5 + 10}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$

Для координаты $y_D$:

$y_D = \frac{-3 + (-7)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(7.5; -5)$.

Ответ: $D(7.5; -5)$.

1025 Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) b {−3; 4}; в) с {−10; −10}; г) d {10; 17}; д) e {11; −11}; е) f {10; 0}.

Для нахождения длины (модуля) вектора $\vec{v}\{x; y\}$, заданного своими координатами, используется формула, являющаяся следствием теоремы Пифагора:

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Применим эту формулу для каждого из векторов:

а) Для вектора $\vec{a}\{5; 9\}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}$.
Ответ: $\sqrt{106}$

б) Для вектора $\vec{b}\{-3; 4\}$:
$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $5$

в) Для вектора $\vec{c}\{-10; -10\}$:
$|\vec{c}| = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

г) Для вектора $\vec{d}\{10; 17\}$:
$|\vec{d}| = \sqrt{10^2 + 17^2} = \sqrt{100 + 289} = \sqrt{389}$.
Ответ: $\sqrt{389}$

д) Для вектора $\vec{e}\{11; -11\}$:
$|\vec{e}| = \sqrt{11^2 + (-11)^2} = \sqrt{121 + 121} = \sqrt{2 \cdot 121} = 11\sqrt{2}$.
Ответ: $11\sqrt{2}$

е) Для вектора $\vec{f}\{10; 0\}$:
$|\vec{f}| = \sqrt{10^2 + 0^2} = \sqrt{100 + 0} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $10$

1026 Найдите расстояние от точки M (3; −2): а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат.

Дана точка $M$ с координатами $(3; -2)$.

а) до оси абсцисс

Расстояние от точки до оси абсцисс (оси Ox) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось Ox. Эта длина равна модулю ординаты (координаты y) точки. Ордината точки $M(3; -2)$ равна $-2$. Следовательно, расстояние до оси абсцисс равно $|-2| = 2$.
Ответ: 2.

б) до оси ординат

Расстояние от точки до оси ординат (оси Oy) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось Oy. Эта длина равна модулю абсциссы (координаты x) точки. Абсцисса точки $M(3; -2)$ равна $3$. Следовательно, расстояние до оси ординат равно $|3| = 3$.
Ответ: 3.

в) до начала координат

Начало координат — это точка $O$ с координатами $(0; 0)$. Расстояние между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Найдем расстояние от точки $M(3; -2)$ до точки $O(0; 0)$: $d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$.

1027 Найдите расстояние между точками A и B, если:

а) А (2; 7), В (−2; 7);

б) А (−5; 1), В (−5; −7);

в) А (−3; 0), В (0; 4);

г) А (0; 3), В (−4; 0).

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на координатной плоскости используется формула расстояния, которая является следствием теоремы Пифагора:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
где $d$ — искомое расстояние.

а) Даны точки $A(2; 7)$ и $B(-2; 7)$.
Подставим их координаты ($x_1 = 2, y_1 = 7, x_2 = -2, y_2 = 7$) в формулу:
$d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (7 - 7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$.
Обратим внимание, что ординаты ($y$) точек одинаковы, значит, точки лежат на горизонтальной прямой. В таком случае расстояние можно найти как модуль разности их абсцисс ($x$):
$d = |x_2 - x_1| = |-2 - 2| = |-4| = 4$.
Ответ: 4

б) Даны точки $A(-5; 1)$ и $B(-5; -7)$.
Подставим их координаты ($x_1 = -5, y_1 = 1, x_2 = -5, y_2 = -7$) в формулу:
$d = \sqrt{(-5 - (-5))^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{(-5 + 5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{0^2 + 64} = \sqrt{64} = 8$.
В этом случае абсциссы ($x$) точек одинаковы, значит, точки лежат на вертикальной прямой. Расстояние равно модулю разности их ординат ($y$):
$d = |y_2 - y_1| = |-7 - 1| = |-8| = 8$.
Ответ: 8

в) Даны точки $A(-3; 0)$ и $B(0; 4)$.
Подставим их координаты ($x_1 = -3, y_1 = 0, x_2 = 0, y_2 = 4$) в формулу:
$d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

г) Даны точки $A(0; 3)$ и $B(-4; 0)$.
Подставим их координаты ($x_1 = 0, y_1 = 3, x_2 = -4, y_2 = 0$) в формулу:
$d = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

1028 Найдите периметр треугольника MNP, если M (4; 0), N (12; −2), Р (5; −9).

Для того чтобы найти периметр треугольника MNP, необходимо вычислить длины всех его сторон (MN, NP и MP) и сложить их. Длина отрезка (расстояние между двумя точками) на координатной плоскости с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нам даны координаты вершин треугольника: M(4; 0), N(12; -2), P(5; -9).

1. Найдем длину стороны MN.

Подставим координаты точек M(4; 0) и N(12; -2) в формулу:

$MN = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.

2. Найдем длину стороны NP.

Подставим координаты точек N(12; -2) и P(5; -9) в формулу:

$NP = \sqrt{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-9 + 2)^2} = \sqrt{49 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{2 \cdot 49} = 7\sqrt{2}$

3. Найдем длину стороны MP.

Подставим координаты точек M(4; 0) и P(5; -9) в формулу:

$MP = \sqrt{(5 - 4)^2 + (-9 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$

Корень из 82 не упрощается, так как 82 = 2 · 41, и нет множителей, являющихся полными квадратами.

4. Найдем периметр треугольника MNP.

Периметр $P_{MNP}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{MNP} = MN + NP + MP = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$

Поскольку подкоренные выражения различны, дальнейшее упрощение этого выражения невозможно.

Ответ: $2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$.

1029 Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А (0; 1), В (1; −4), С (5; 2).

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае медиана AM соединяет вершину A с точкой M, которая является серединой стороны BC.

1. Нахождение координат середины стороны BC (точки M)

Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов. Для точек B(1; –4) и C(5; 2) координаты их середины M($x_M$; $y_M$) будут:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, точка M имеет координаты (3; –1).

2. Нахождение длины медианы AM

Длина медианы AM — это расстояние между точками A(0; 1) и M(3; –1). Расстояние d между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек A и M в эту формулу:

$AM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Следовательно, длина медианы AM равна $\sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$

1030 Точки В и С лежат соответственно на положительных полуосях Ох и Оу, а точка А лежит на отрицательной полуоси Ох, причём ОА = а, OB = b, OC = h. Найдите стороны АС и ВС треугольника ABC.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат, где начало O(0, 0) совпадает с точкой пересечения осей. Согласно условию, точка B лежит на положительной полуоси Ox, поэтому ее координаты B(b, 0), так как $OB = b$. Точка C лежит на положительной полуоси Oy, поэтому ее координаты C(0, h), так как $OC = h$. Точка A лежит на отрицательной полуоси Ox, поэтому ее координаты A(-a, 0), так как $OA = a$.

Теперь мы можем найти длины сторон AC и BC, рассматривая прямоугольные треугольники AOC и BOC, образованные точками и осями координат.

Сторона AC

Рассмотрим треугольник AOC. Так как оси координат Ox и Oy перпендикулярны, угол $\angle AOC$ является прямым ($90^\circ$), и, следовательно, треугольник AOC — прямоугольный. Его катетами являются отрезки OA и OC. Их длины известны из условия: $OA = a$ и $OC = h$. Сторона AC является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = OA^2 + OC^2$. Подставив известные значения, получим: $AC^2 = a^2 + h^2$. Отсюда, длина стороны AC равна: $AC = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Ответ: $AC = \sqrt{a^2 + h^2}$

Сторона BC

Аналогично рассмотрим треугольник BOC. Угол $\angle BOC$ также прямой, а значит, треугольник BOC — прямоугольный. Его катетами являются отрезки OB и OC, длины которых равны $OB = b$ и $OC = h$. Сторона BC является гипотенузой. Снова применим теорему Пифагора: $BC^2 = OB^2 + OC^2$. Подставив известные значения, получим: $BC^2 = b^2 + h^2$. Отсюда, длина стороны BC равна: $BC = \sqrt{b^2 + h^2}$.

Ответ: $BC = \sqrt{b^2 + h^2}$

1031 Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с основаниями ОА = а и BC = d, если точка А лежит на положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (b; с).

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Согласно условию, начало координат находится в точке $O$, поэтому ее координаты $O(0, 0)$.

Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а длина основания $OA$ равна $a$. Следовательно, координаты точки $A$ будут $A(a, 0)$.

Вершина $B$ имеет заданные координаты $B(b, c)$.

Трапеция $OBCA$ имеет основания $OA$ и $BC$. Это означает, что прямая $BC$ параллельна прямой $OA$. Поскольку прямая $OA$ совпадает с осью абсцисс $Ox$, прямая $BC$ должна быть параллельна оси $Ox$. Это значит, что все точки на прямой $BC$ имеют одинаковую ординату. Так как ордината точки $B$ равна $c$, то и ордината точки $C$ также равна $c$. Обозначим абсциссу точки $C$ как $x_C$. Таким образом, координаты точки $C$ — это $C(x_C, c)$.

Длина основания $BC$ равна $d$. Используем формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти $x_C$:$BC = \sqrt{(x_C - b)^2 + (c - c)^2} = \sqrt{(x_C - b)^2} = |x_C - b|$.

Из условия $BC = d$ следует, что $|x_C - b| = d$. Это уравнение имеет два решения: $x_C - b = d$ или $x_C - b = -d$. Отсюда $x_C = b+d$ или $x_C = b-d$.

Для однозначного определения положения точки $C$ примем стандартное соглашение, что для трапеции $OBCA$ с основаниями $OA$ и $BC$ векторы $\vec{OA}$ и $\vec{CB}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), чтобы трапеция была несамопересекающейся.Вектор $\vec{OA}$ имеет координаты $(a, 0)$. Поскольку точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, $a>0$, и вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль положительного направления оси $Ox$.Вектор $\vec{CB}$ имеет координаты $(b - x_C, c - c) = (b - x_C, 0)$.Для того чтобы вектор $\vec{CB}$ был сонаправлен с $\vec{OA}$, его первая координата должна быть положительной: $b - x_C > 0$, что означает $x_C < b$.

Рассмотрим два возможных значения для $x_C$:1. $x_C = b+d$. В этом случае $b - x_C = b - (b+d) = -d$. Так как длина $d > 0$, это значение отрицательно, что противоречит условию сонаправленности.2. $x_C = b-d$. В этом случае $b - x_C = b - (b-d) = d$. Это значение положительно.

Таким образом, абсцисса точки $C$ однозначно определяется как $x_C = b-d$. Координаты вершины $C$ равны $(b-d, c)$.

Теперь мы можем найти длины требуемых отрезков, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Сторона AC

Найдем расстояние между точками $A(a, 0)$ и $C(b-d, c)$:$AC = \sqrt{((b-d) - a)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{(b-d-a)^2 + c^2}$.Выражение в скобках можно записать как $-(a-b+d)$, и так как $(-x)^2 = x^2$, получаем:$AC = \sqrt{(a-b+d)^2 + c^2}$.

Ответ: $AC = \sqrt{(a-b+d)^2 + c^2}$.

Диагональ OC

Найдем расстояние между точками $O(0, 0)$ и $C(b-d, c)$:$OC = \sqrt{((b-d) - 0)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{(b-d)^2 + c^2}$.

Ответ: $OC = \sqrt{(b-d)^2 + c^2}$.

1032 Найдите x, если: а) расстояние между точками А(2; 3) и В(x; 1) равно 2; б) расстояние между точками М₁(−1; x) и М₂(2х; 3) равно 7.

а) Для решения задачи используем формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

По условию, даны точки $A(2; 3)$ и $B(x; 1)$, а расстояние $d$ между ними равно 2. Подставим эти значения в формулу:

$2 = \sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 3)^2}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$2^2 = \left(\sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 3)^2}\right)^2$

$4 = (x - 2)^2 + (-2)^2$

$4 = (x - 2)^2 + 4$

Теперь вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$(x - 2)^2 = 4 - 4$

$(x - 2)^2 = 0$

Это равенство выполняется только в том случае, если выражение в скобках равно нулю:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

б) Аналогично первому пункту, используем формулу расстояния для точек $M_1(-1; x)$ и $M_2(2x; 3)$, где расстояние $d$ равно 7.

$7 = \sqrt{(2x - (-1))^2 + (3 - x)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$7 = \sqrt{(2x + 1)^2 + (3 - x)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$7^2 = (2x + 1)^2 + (3 - x)^2$

$49 = (2x + 1)^2 + (3 - x)^2$

Раскроем скобки, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$49 = (4x^2 + 4x + 1) + (9 - 6x + x^2)$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$49 = (4x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (1 + 9)$

$49 = 5x^2 - 2x + 10$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 2x + 10 - 49 = 0$

$5x^2 - 2x - 39 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 28}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 28}{10} = \frac{-26}{10} = -2.6$

Ответ: $x = 3$ или $x = -2.6$.

1033 Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты:
а) А (0; 1), В (1; −4), С (5; 2);
б) А (−4; 1), В (−2; 4), С (0; 1).

а)

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный, найдем длины его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин: $A(0; 1)$, $B(1; -4)$, $C(5; 2)$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

Поскольку $AB = AC = \sqrt{26}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Для нахождения площади треугольника $S_{ABC}$ воспользуемся формулой площади по координатам вершин: $S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |0(-4 - 2) + 1(2 - 1) + 5(1 - (-4))| = \frac{1}{2} |0 \cdot (-6) + 1 \cdot 1 + 5 \cdot 5| = \frac{1}{2} |0 + 1 + 25| = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$.

Ответ: Треугольник является равнобедренным, так как $AB=AC=\sqrt{26}$; его площадь равна 13.

б)

Найдем длины сторон треугольника с вершинами $A(-4; 1)$, $B(-2; 4)$, $C(0; 1)$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Поскольку $AB = BC = \sqrt{13}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Для нахождения площади заметим, что основание $AC$ лежит на горизонтальной прямой $y=1$, так как ординаты точек $A$ и $C$ совпадают. Длина основания $AC$ равна разности их абсцисс: $AC = |0 - (-4)| = 4$.

Высота $h$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, равна разности ординат точки $B$ и прямой $y=1$: $h = |y_B - 1| = |4 - 1| = 3$.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ равна половине произведения основания на высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Треугольник является равнобедренным, так как $AB=BC=\sqrt{13}$; его площадь равна 6.

1034 Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если:
а) M (1; 1), N (6; 1), Р (7; 4), Q (2; 4);
б) M (−5; 1), N (−4; 4), Р (−1; 5), Q (−2; 2).

а)

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом, воспользуемся свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $MP$ и $NQ$ должны совпадать.

Найдём координаты середины диагонали $MP$. Обозначим её точкой $O_1$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_M+x_P}{2}$ и $y_O = \frac{y_M+y_P}{2}$.

Для $M(1; 1)$ и $P(7; 4)$ имеем:

$x_{O_1} = \frac{1+7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_1} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, середина $MP$ — это точка $O_1(4; 2.5)$.

Теперь найдём координаты середины диагонали $NQ$. Обозначим её точкой $O_2$.

Для $N(6; 1)$ и $Q(2; 4)$ имеем:

$x_{O_2} = \frac{6+2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_2} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, середина $NQ$ — это точка $O_2(4; 2.5)$.

Поскольку координаты середин диагоналей $MP$ и $NQ$ совпадают ($O_1 = O_2$), четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Теперь найдём длины его диагоналей $MP$ и $NQ$. Длина отрезка между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина диагонали $MP$:

$|MP| = \sqrt{(7-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Длина диагонали $NQ$:

$|NQ| = \sqrt{(2-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: длины диагоналей равны $3\sqrt{5}$ и $5$.

б)

Аналогично пункту а), докажем, что $MNPQ$ — параллелограмм, проверив, что середины его диагоналей $MP$ и $NQ$ совпадают.

Найдём координаты середины диагонали $MP$ с концами в точках $M(-5; 1)$ и $P(-1; 5)$.

$x_O = \frac{-5+(-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_O = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Середина $MP$ — точка с координатами $(-3; 3)$.

Найдём координаты середины диагонали $NQ$ с концами в точках $N(-4; 4)$ и $Q(-2; 2)$.

$x_O = \frac{-4+(-2)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_O = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Середина $NQ$ — точка с координатами $(-3; 3)$.

Координаты середин диагоналей совпадают, следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом.

Теперь найдём длины его диагоналей $MP$ и $NQ$ по формуле расстояния между двумя точками.

Длина диагонали $MP$:

$|MP| = \sqrt{(-1-(-5))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-1+5)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Длина диагонали $NQ$:

$|NQ| = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-2+4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: длины диагоналей равны $4\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$.

1035 Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если:
а) А (−3; −1), В (1; −1), С (1; −3), D (−3; −3);
б) А (4; 1), В (3; 5), С (−1; 4), D (0; 0).

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, нужно показать, что он является параллелограммом, у которого есть прямой угол. Это можно сделать несколькими способами:

• Доказать, что противолежащие стороны параллельны (их угловые коэффициенты равны) и что смежные стороны перпендикулярны (произведение их угловых коэффициентов равно -1).
• Доказать, что противолежащие стороны равны по длине и что диагонали равны по длине.
• Доказать, что противолежащие стороны равны по длине и что выполняется теорема Пифагора для треугольника, образованного двумя смежными сторонами и диагональю.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

а) A(-3; -1), B(1; -1), C(1; -3), D(-3; -3)

1. Докажем, что ABCD – прямоугольник.
Найдем длины сторон четырехугольника по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$|AB| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$|BC| = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.
$|CD| = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$|DA| = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = \sqrt{4} = 2$.
Так как $|AB| = |CD| = 4$ и $|BC| = |DA| = 2$, противолежащие стороны четырехугольника равны. Следовательно, ABCD – параллелограмм.
Теперь проверим, есть ли у параллелограмма прямой угол. Найдем длину диагонали AC.
$|AC|^2 = (1 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2 = (4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:
$|AB|^2 + |BC|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.
Так как $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle B$.
Поскольку ABCD – параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

2. Найдем площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
$S_{ABCD} = |AB| \cdot |BC| = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Доказано, что ABCD является прямоугольником, его площадь равна 8.

б) A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0)

1. Докажем, что ABCD – прямоугольник.
Найдем угловые коэффициенты сторон четырехугольника по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AB} = \frac{5 - 1}{3 - 4} = \frac{4}{-1} = -4$.
$k_{BC} = \frac{4 - 5}{-1 - 3} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
$k_{CD} = \frac{0 - 4}{0 - (-1)} = \frac{-4}{1} = -4$.
$k_{DA} = \frac{1 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{4}$.
Так как $k_{AB} = k_{CD} = -4$, то сторона $AB$ параллельна стороне $CD$.
Так как $k_{BC} = k_{DA} = \frac{1}{4}$, то сторона $BC$ параллельна стороне $DA$.
Поскольку противолежащие стороны попарно параллельны, ABCD – параллелограмм.
Проверим, перпендикулярны ли смежные стороны. Найдем произведение их угловых коэффициентов.
$k_{AB} \cdot k_{BC} = (-4) \cdot \frac{1}{4} = -1$.
Так как произведение угловых коэффициентов сторон AB и BC равно -1, эти стороны перпендикулярны, то есть угол $\angle B$ прямой.
Поскольку ABCD – параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

2. Найдем площадь прямоугольника.
Найдем длины смежных сторон AB и BC.
$|AB| = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
$|BC| = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
$S_{ABCD} = |AB| \cdot |BC| = \sqrt{17} \cdot \sqrt{17} = 17$.

Ответ: Доказано, что ABCD является прямоугольником (в данном случае - квадратом), его площадь равна 17.

1036 Курьер должен принести заказ из пекарни в магазин, кафе и столовую. Ему предоставили карту маршрута, масштаб которой 1:10 000 (рис. 316). Все пункты, в которых может находиться курьер, соединяют прямолинейные дороги. Пекарня находится ровно посередине отрезка, соединяющего кафе и столовую. Какое расстояние должен пройти курьер, чтобы быстрее доставить заказ и вернуться обратно в пекарню?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: определить координаты всех пунктов, найти кратчайший маршрут и рассчитать его реальную длину с учетом масштаба.

1. Определение координат точек на карте

Используя систему координат на рисунке, определим координаты заданных пунктов. За единицу измерения примем длину одной клетки (единичный отрезок).

• Кафе (К): $(-8; 1)$
• Столовая (С): $(8; 1)$
• Магазин (М): $(1; 7)$

2. Нахождение координат пекарни

По условию, пекарня (П) находится ровно посередине отрезка, соединяющего кафе и столовую. Найдем координаты середины отрезка КС по формулам: $x_П = \frac{x_К + x_С}{2}$ и $y_П = \frac{y_К + y_С}{2}$

$x_П = \frac{-8 + 8}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_П = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты пекарни (П) — $(0; 1)$.

3. Расчет расстояний между пунктами в единицах карты

Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• Расстояние от пекарни до кафе (ПК):
  $d_{ПК} = \sqrt{(-8 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$ ед.
• Расстояние от пекарни до столовой (ПС):
  $d_{ПС} = \sqrt{(8 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$ ед.
• Расстояние от пекарни до магазина (ПМ):
  $d_{ПМ} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$ ед.
• Расстояние от кафе до магазина (КМ):
  $d_{КМ} = \sqrt{(1 - (-8))^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117}$ ед.
• Расстояние от столовой до магазина (СМ):
  $d_{СМ} = \sqrt{(1 - 8)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$ ед.
• Расстояние от кафе до столовой (КС):
  $d_{КС} = \sqrt{(8 - (-8))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{16^2 + 0^2} = 16$ ед.

4. Определение кратчайшего маршрута

Курьер начинает путь в пекарне (П), должен посетить кафе (К), столовую (С) и магазин (М), а затем вернуться в пекарню (П). Существует несколько возможных последовательностей посещения пунктов. Сравним их общую длину:

Вариант 1: Пекарня > Кафе > Магазин > Столовая > Пекарня (и симметричный ему П>С>М>К>П)
Длина: $L_1 = d_{ПК} + d_{КМ} + d_{МС} + d_{СП} = 8 + \sqrt{117} + \sqrt{85} + 8 = 16 + \sqrt{117} + \sqrt{85}$
$L_1 \approx 16 + 10.82 + 9.22 = 36.04$ ед.

Вариант 2: Пекарня > Магазин > Кафе > Столовая > Пекарня (и симметричный ему П>М>С>К>П)
Длина: $L_2 = d_{ПМ} + d_{МК} + d_{КС} + d_{СП} = \sqrt{37} + \sqrt{117} + 16 + 8 = 24 + \sqrt{37} + \sqrt{117}$
$L_2 \approx 24 + 6.08 + 10.82 = 40.9$ ед.

Вариант 3: Пекарня > Кафе > Столовая > Магазин > Пекарня (и симметричный ему П>С>К>М>П)
Длина: $L_3 = d_{ПК} + d_{КС} + d_{СМ} + d_{МП} = 8 + 16 + \sqrt{85} + \sqrt{37} = 24 + \sqrt{85} + \sqrt{37}$
$L_3 \approx 24 + 9.22 + 6.08 = 39.3$ ед.

Сравнивая длины маршрутов ($36.04 < 39.3 < 40.9$), видим, что кратчайшим является первый вариант: Пекарня > Кафе > Магазин > Столовая > Пекарня (или в обратном порядке: Пекарня > Столовая > Магазин > Кафе > Пекарня).

5. Расчет реального расстояния

Определим, какому реальному расстоянию соответствует один единичный отрезок на карте.

• Из рисунка видно, что 1 см на карте равен 2 единичным отрезкам.
• Масштаб карты 1:10 000, это значит, что 1 см на карте соответствует 10 000 см в реальности.
• 10 000 см = 100 метров.
• Таким образом, 2 единичных отрезка на карте равны 100 метрам в реальности, а 1 единичный отрезок равен $100 / 2 = 50$ метрам.

Теперь переведем длину кратчайшего маршрута из единичных отрезков в метры, а затем в километры:
Длина в метрах: $L_{м} = (16 + \sqrt{117} + \sqrt{85}) \times 50 \approx 36.04 \times 50 \approx 1802$ м.
Длина в километрах: $L_{км} = 1802 / 1000 = 1.802$ км.

Округлим результат до десятых: 1.8 км.

Ответ: Курьер должен пройти расстояние примерно 1.8 км.