Страница 259 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1038 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Обозначим буквой M середину гипотенузы AB. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 318. Если ВС=а, АС=b, то вершины треугольника имеют координаты С(0;0), В(а;0), А(0;b). По формулам координат середины отрезка находим координаты точки M:

$M\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2}\right).$

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдём длины отрезков МС и МА:

$MC=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$

$MA=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}-b\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$

Таким образом, МА=МВ=МС, что и требовалось доказать.

Для доказательства используем метод координат. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым. Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $C$ совпала с началом координат, катет $BC$ лежал на оси $Ox$, а катет $AC$ — на оси $Oy$.

Пусть длина катета $BC$ равна $a$, а длина катета $AC$ равна $b$. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $C(0; 0)$ — вершина прямого угла в начале координат.
• $B(a; 0)$ — вершина на оси $Ox$.
• $A(0; b)$ — вершина на оси $Oy$.

Гипотенузой является отрезок $AB$. Обозначим её середину буквой $M$. Чтобы найти координаты точки $M$, воспользуемся формулой координат середины отрезка. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Координаты точки $M$, середины отрезка $AB$ с концами $A(0; b)$ и $B(a; 0)$:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2}$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $M\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$.

Теперь нам нужно доказать, что точка $M$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника, то есть что длины отрезков $MA$, $MB$ и $MC$ равны. Для этого найдём квадраты этих расстояний, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

1. Найдём расстояние от M до вершины A:
$MA^2 = \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - b\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

2. Найдём расстояние от M до вершины B:
$MB^2 = \left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

3. Найдём расстояние от M до вершины C:
$MC^2 = \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

Мы видим, что квадраты расстояний от точки $M$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны между собой:
$MA^2 = MB^2 = MC^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$

Поскольку расстояния являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует и равенство самих расстояний:
$MA = MB = MC = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Таким образом, мы доказали, что точка $M$, являющаяся серединой гипотенузы прямоугольного треугольника, находится на одинаковом расстоянии от всех его трёх вершин. Что и требовалось доказать.

Ответ: Мы доказали утверждение, показав, что расстояния от середины гипотенузы до каждой из трёх вершин треугольника равны. Если вершины прямоугольного треугольника $A(0; b)$, $B(a; 0)$, $C(0; 0)$ и середина гипотенузы $M(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$, то $MA = MB = MC = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.

1039 Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 319. Если AD=BC=a, а точка В имеет координаты (b;с), то точка D имеет координаты (а;0), а точка С — координаты (а+b;с). Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

AB²=b²+с², AD²=а²,

АС²=(а+b)²+с²,

BD²=(а−b)²+с².

Отсюда получаем:

Таким образом,

AB²+ВС²+CD²+DA²=AC²+BD²,

что и требовалось доказать.

Решение

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$. Для доказательства этого свойства воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $A$ совпадала с началом координат, то есть $A(0; 0)$, а сторона $AD$ лежала на оси абсцисс $Ox$.

Пусть длина стороны $AD$ равна $a$. Тогда координаты вершины $D$ будут $(a; 0)$.

Обозначим координаты вершины $B$ как $(b; c)$.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны. В векторной форме это означает, что вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$.

Координаты вектора $\vec{AD}$ равны $(a - 0; 0 - 0) = (a; 0)$.

Если координаты точки $C$ обозначить как $(x_C; y_C)$, то координаты вектора $\vec{BC}$ будут $(x_C - b; y_C - c)$.

Из равенства векторов $\vec{AD} = \vec{BC}$ получаем систему уравнений:

$x_C - b = a \implies x_C = a + b$

$y_C - c = 0 \implies y_C = c$

Таким образом, мы определили координаты всех вершин параллелограмма: $A(0; 0)$, $B(b; c)$, $C(a+b; c)$ и $D(a; 0)$.

Теперь найдём квадраты длин всех сторон и диагоналей, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадраты длин сторон:

$AB^2 = (b - 0)^2 + (c - 0)^2 = b^2 + c^2$

$AD^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$

В параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$), поэтому их квадраты также равны:

$CD^2 = AB^2 = b^2 + c^2$

$BC^2 = AD^2 = a^2$

Сумма квадратов длин сторон:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = (b^2 + c^2) + a^2 + (b^2 + c^2) + a^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2$

Квадраты длин диагоналей:

Диагональ $AC$ соединяет точки $A(0;0)$ и $C(a+b;c)$:

$AC^2 = ((a+b) - 0)^2 + (c - 0)^2 = (a+b)^2 + c^2$

Диагональ $BD$ соединяет точки $B(b;c)$ и $D(a;0)$:

$BD^2 = (a - b)^2 + (0 - c)^2 = (a-b)^2 + c^2$

Сумма квадратов длин диагоналей:

$AC^2 + BD^2 = ((a+b)^2 + c^2) + ((a-b)^2 + c^2)$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$AC^2 + BD^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + c^2 + (a^2 - 2ab + b^2) + c^2$

Приведём подобные слагаемые:

$AC^2 + BD^2 = a^2 + 2ab + b^2 + c^2 + a^2 - 2ab + b^2 + c^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2$

Сравнение результатов:

Мы получили, что сумма квадратов сторон равна $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$ и сумма квадратов диагоналей также равна $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$.

Следовательно, $AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = AC^2 + BD^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Математически это выражается равенством: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$.