Страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1037 Курьер должен доставить заказ со склада в магазин, кафе, столовую и кондитерскую. Ему предоставили карту маршрута, масштаб которой 1:10 000 (рис. 317). Все пункты, в которых может находиться курьер, соединяют прямолинейные дороги.

Склад находится ровно посередине отрезка, соединяющего магазин и кондитерскую. Какое расстояние должен пройти курьер, чтобы быстрее доставить заказ и вернуться обратно на склад?

Применение метода координат к решению задач

Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Для решения этой задачи мы будем использовать метод координат. Для начала, определим координаты всех указанных на карте пунктов, принимая за единицу измерения длину стороны одной клетки сетки.

1. Определение координат точек

Исходя из данных на рисунке 317, точки имеют следующие координаты:

• Магазин (М): $(1; 7)$
• Кафе (Кф): $(-8; 2)$
• Столовая (С): $(8; 1)$
• Кондитерская (К): $(1; -5)$

2. Нахождение координат склада

По условию, склад (Ск) расположен ровно посередине отрезка, который соединяет магазин (М) и кондитерскую (К). Для нахождения его координат воспользуемся формулой координат середины отрезка:

$x_{Ск} = \frac{x_М + x_К}{2}$ и $y_{Ск} = \frac{y_М + y_К}{2}$

Подставляем известные значения координат точек М и К:

$x_{Ск} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

$y_{Ск} = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, склад (Ск) имеет координаты $(1; 1)$.

3. Расчет расстояний между пунктами

Задача курьера — начать путь со склада, посетить все четыре пункта и вернуться на склад по кратчайшему маршруту. Для этого нам нужно рассчитать расстояния между всеми точками. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Рассчитаем расстояния, которые понадобятся для определения длины маршрута (в единицах карты):

• $d(Ск, М) = \sqrt{(1-1)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
• $d(Ск, К) = \sqrt{(1-1)^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
• $d(Ск, С) = \sqrt{(8-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{7^2 + 0^2} = 7$
• $d(Ск, Кф) = \sqrt{(-8-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 1^2} = \sqrt{81+1} = \sqrt{82}$
• $d(М, С) = \sqrt{(8-1)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{7^2 + (-6)^2} = \sqrt{49+36} = \sqrt{85}$
• $d(К, С) = \sqrt{(8-1)^2 + (1-(-5))^2} = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49+36} = \sqrt{85}$
• $d(М, Кф) = \sqrt{(-8-1)^2 + (2-7)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-5)^2} = \sqrt{81+25} = \sqrt{106}$
• $d(К, Кф) = \sqrt{(-8-1)^2 + (2-(-5))^2} = \sqrt{(-9)^2 + 7^2} = \sqrt{81+49} = \sqrt{130}$

4. Определение кратчайшего маршрута

Задача заключается в поиске самого короткого замкнутого маршрута (задача коммивояжера). Так как количество точек невелико, можно проанализировать и сравнить длины наиболее вероятных маршрутов.

Путем сравнения длин возможных маршрутов было установлено, что кратчайшим является маршрут: Склад > Кондитерская > Столовая > Магазин > Кафе > Склад (и обратный ему).

Длина этого маршрута $L$ вычисляется как сумма длин составляющих его отрезков:

$L = d(Ск, К) + d(К, С) + d(С, М) + d(М, Кф) + d(Кф, Ск)$

$L = 6 + \sqrt{85} + \sqrt{85} + \sqrt{106} + \sqrt{82} = 6 + 2\sqrt{85} + \sqrt{106} + \sqrt{82}$ единиц карты.

Приблизительно вычислим это значение:

$L \approx 6 + 2 \cdot 9.2195 + 10.2956 + 9.0554 \approx 43.7901$ единиц карты.

5. Перевод в реальное расстояние

Масштаб карты составляет 1:10 000, а единичный отрезок на сетке равен 1 см. Это значит, что 1 см на карте соответствует 10 000 см на местности.

$10\ 000 \text{ см} = 100 \text{ м}$

Следовательно, одна единица длины на карте равна 100 метрам в реальности. Чтобы найти итоговое расстояние, нужно умножить длину маршрута в единицах карты на 100.

Реальное расстояние $S = L \cdot 100 = (6 + 2\sqrt{85} + \sqrt{106} + \sqrt{82}) \cdot 100 \text{ м}$

$S \approx 43.7901 \cdot 100 \approx 4379 \text{ м}$

Это расстояние можно выразить в километрах: $4379 \text{ м} \approx 4.38 \text{ км}$.

Ответ: Чтобы быстрее всего доставить заказ и вернуться на склад, курьеру необходимо пройти расстояние, равное $(6 + 2\sqrt{85} + \sqrt{106} + \sqrt{82}) \cdot 100$ метров, что составляет примерно 4379 м или 4.38 км.