Страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1059 Даны координаты вершин треугольника ABC: A (4; 6), В (−4; 0), C (−1; −4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

Медиана $CM$ треугольника $ABC$ соединяет вершину $C$ с серединой противоположной стороны $AB$. Обозначим середину стороны $AB$ как точку $M$.

1. Нахождение координат точки $M$.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $A(4; 6)$ и $B(-4; 0)$ координаты точки $M$ будут:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{6 + 0}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(0; 3)$.

2. Составление уравнения прямой $CM$.

Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через две точки: $C(-1; -4)$ и $M(0; 3)$.

Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $C(-1; -4)$ и $M(0; 3)$ в формулу:

$\frac{y - (-4)}{3 - (-4)} = \frac{x - (-1)}{0 - (-1)}$

$\frac{y + 4}{3 + 4} = \frac{x + 1}{0 + 1}$

$\frac{y + 4}{7} = \frac{x + 1}{1}$

Выразим $y$ из этого уравнения, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом ($y = kx + b$):

$y + 4 = 7(x + 1)$

$y + 4 = 7x + 7$

$y = 7x + 7 - 4$

$y = 7x + 3$

Ответ: $y = 7x + 3$

1060 Даны координаты вершин трапеции ABCD: A (−2; −2), B (−3; 1), C (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих:
а) диагонали АС и BD трапеции;
б) среднюю линию трапеции.

а) диагонали AC и BD трапеции;

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Найдем уравнение прямой, содержащей диагональ AC. Подставим в формулу координаты точек A(-2; -2) и C(7; 7):
$\frac{x - (-2)}{7 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{7 - (-2)}$
$\frac{x + 2}{9} = \frac{y + 2}{9}$
Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители:
$x + 2 = y + 2$
$y = x$ (или $x - y = 0$)

Теперь найдем уравнение прямой, содержащей диагональ BD. Координаты точек B(-3; 1) и D(3; 1).
Заметим, что ординаты (координаты $y$) этих точек одинаковы и равны 1. Это означает, что прямая BD параллельна оси абсцисс (горизонтальная), и ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ - постоянная. В данном случае, уравнение прямой BD:
$y = 1$

Ответ: Уравнение прямой AC: $y = x$. Уравнение прямой BD: $y = 1$.

б) среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. Для начала определим, какие стороны трапеции являются основаниями (параллельными), а какие — боковыми. Для этого вычислим угловые коэффициенты $k$ для каждой стороны по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AD} = \frac{1 - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{3}{5}$
$k_{BC} = \frac{7 - 1}{7 - (-3)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$k_{AB} = \frac{1 - (-2)}{-3 - (-2)} = \frac{3}{-1} = -3$
$k_{CD} = \frac{1 - 7}{3 - 7} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$
Поскольку угловые коэффициенты сторон AD и BC равны ($k_{AD} = k_{BC}$), эти стороны параллельны и являются основаниями трапеции. Следовательно, стороны AB и CD — боковые.

Далее найдем координаты середин боковых сторон.
Пусть точка M — середина стороны AB. Ее координаты вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + (-3)}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Таким образом, M(-2.5; -0.5).
Пусть точка N — середина стороны CD. Ее координаты:
$x_N = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_N = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Таким образом, N(5; 4).

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точки M и N, которая является средней линией трапеции. Воспользуемся той же формулой:
$\frac{x - x_M}{x_N - x_M} = \frac{y - y_M}{y_N - y_M}$
$\frac{x - (-2.5)}{5 - (-2.5)} = \frac{y - (-0.5)}{4 - (-0.5)}$
$\frac{x + 2.5}{7.5} = \frac{y + 0.5}{4.5}$
Для упрощения можно умножить знаменатели на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей, это эквивалентно следующей пропорции:
$4.5(x + 2.5) = 7.5(y + 0.5)$
Разделим обе части уравнения на 1.5:
$3(x + 2.5) = 5(y + 0.5)$
$3x + 7.5 = 5y + 2.5$
$5y = 3x + 5$
$y = \frac{3}{5}x + 1$
Это уравнение можно также представить в общем виде: $3x - 5y + 5 = 0$.

Ответ: $y = \frac{3}{5}x + 1$.

1061 Напишите уравнения прямых, проходящих через точку M (2; 5) и параллельных осям координат.

Для решения данной задачи нам необходимо найти уравнения двух прямых, которые проходят через заданную точку $M(2; 5)$ и параллельны осям координат. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (Ox)

Прямая, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox), является горизонтальной. Особенность такой прямой заключается в том, что все ее точки имеют одинаковую ординату (y-координату). Общее уравнение для любой горизонтальной прямой записывается в виде $y = c$, где $c$ — это постоянное значение ординаты.

По условию задачи, искомая прямая должна проходить через точку $M$ с координатами $(2; 5)$. Это означает, что y-координата для всех точек на этой прямой должна быть равна 5.

Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку $M(2; 5)$ и параллельной оси Ox, будет:

Ответ: $y = 5$

Уравнение прямой, параллельной оси ординат (Oy)

Прямая, которая параллельна оси ординат (оси Oy), является вертикальной. Особенность такой прямой в том, что все ее точки имеют одинаковую абсциссу (x-координату). Общее уравнение для любой вертикальной прямой записывается в виде $x = c$, где $c$ — это постоянное значение абсциссы.

По условию задачи, эта прямая также должна проходить через точку $M$ с координатами $(2; 5)$. Это означает, что x-координата для всех точек на этой прямой должна быть равна 2.

Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку $M(2; 5)$ и параллельной оси Oy, будет:

Ответ: $x = 2$

1062 Начертите прямую, заданную уравнением: а) y = 3; б) x = −2; в) у = −4; г) x = 7.

а) Уравнение $y=3$ задает прямую, на которой у всех точек ордината (координата $y$) равна 3. Абсцисса (координата $x$) при этом может быть любой. Например, точки с координатами $(-2; 3)$, $(0; 3)$, $(5; 3)$ принадлежат этой прямой. Чтобы начертить эту прямую в прямоугольной системе координат, нужно отметить на оси ординат ($Oy$) точку со значением 3 и провести через нее прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$). Это будет горизонтальная линия.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 3)$.

б) Уравнение $x=-2$ задает прямую, на которой у всех точек абсцисса (координата $x$) равна -2. Ордината (координата $y$) при этом может быть любой. Например, точки с координатами $(-2; -1)$, $(-2; 0)$, $(-2; 4)$ принадлежат этой прямой. Чтобы начертить эту прямую, нужно отметить на оси абсцисс ($Ox$) точку со значением -2 и провести через нее прямую, параллельную оси ординат ($Oy$). Это будет вертикальная линия.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2; 0)$.

в) Уравнение $y=-4$ задает прямую, на которой у всех точек ордината (координата $y$) равна -4. Абсцисса (координата $x$) при этом может быть любой. Например, точки с координатами $(-1; -4)$, $(0; -4)$, $(3; -4)$ принадлежат этой прямой. Эта прямая является горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс ($Ox$) и проходящей через точку $(0; -4)$ на оси ординат.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -4)$.

г) Уравнение $x=7$ задает прямую, на которой у всех точек абсцисса (координата $x$) равна 7. Ордината (координата $y$) при этом может быть любой. Например, точки с координатами $(7; -3)$, $(7; 0)$, $(7; 5)$ принадлежат этой прямой. Эта прямая является вертикальной линией, параллельной оси ординат ($Oy$) и проходящей через точку $(7; 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(7; 0)$.

1063 Найдите ординату точки M, лежащей на прямой AB, если известно, что A (−8; −6), B (−3; −1) и абсцисса точки M равна 5.

Чтобы найти ординату точки M, необходимо сначала составить уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

Воспользуемся каноническим уравнением прямой, которая проходит через две точки с заданными координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$: $$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$

Подставим в эту формулу координаты точек $A(-8; -6)$ и $B(-3; -1)$: $$ \frac{x - (-8)}{-3 - (-8)} = \frac{y - (-6)}{-1 - (-6)} $$

Выполним вычисления и упростим выражение: $$ \frac{x + 8}{5} = \frac{y + 6}{5} $$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя: $$ x + 8 = y + 6 $$

Выразим $y$, чтобы получить уравнение прямой в стандартном виде $y = kx + b$: $$ y = x + 8 - 6 $$ $$ y = x + 2 $$

По условию, точка M лежит на этой прямой, а ее абсцисса (координата $x$) равна 5. Обозначим искомую ординату (координату $y$) как $y_M$. Таким образом, точка M имеет координаты $(5; y_M)$.

Поскольку точка M принадлежит прямой AB, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставим значение $x = 5$ в уравнение $y = x + 2$, чтобы найти $y_M$: $$ y_M = 5 + 2 $$ $$ y_M = 7 $$

Таким образом, ордината точки M равна 7.

Ответ: 7

1064 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

По условию задачи, диагонали ромба лежат на осях координат. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Так как они лежат на осях координат, точка их пересечения — это начало координат, точка $O(0, 0)$.

Длины диагоналей равны 10 см и 4 см. Возможны два случая расположения ромба:

Случай 1: Большая диагональ (длиной 10) лежит на оси Ox, а меньшая (длиной 4) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $10/2 = 5$ и $4/2 = 2$. Вершины ромба будут иметь следующие координаты:$A(5, 0)$, $C(-5, 0)$ на оси Ox и $B(0, 2)$, $D(0, -2)$ на оси Oy.

Стороны ромба — это прямые, проходящие через эти вершины. Для нахождения их уравнений удобно использовать уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ — абсцисса точки пересечения с осью Ox, а $b$ — ордината точки пересечения с осью Oy.

- Прямая AB проходит через точки $A(5, 0)$ и $B(0, 2)$. Здесь $a=5$, $b=2$.
Уравнение: $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1$.
Приведем к общему виду, умножив на 10: $2x + 5y = 10$, или $2x + 5y - 10 = 0$.

- Прямая BC проходит через точки $B(0, 2)$ и $C(-5, 0)$. Здесь $a=-5$, $b=2$.
Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{2} = 1$.
Умножив на 10: $-2x + 5y = 10$, или $2x - 5y + 10 = 0$.

- Прямая CD проходит через точки $C(-5, 0)$ и $D(0, -2)$. Здесь $a=-5$, $b=-2$.
Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{-2} = 1$.
Умножив на -10: $2x + 5y = -10$, или $2x + 5y + 10 = 0$.

- Прямая DA проходит через точки $D(0, -2)$ и $A(5, 0)$. Здесь $a=5$, $b=-2$.
Уравнение: $\frac{x}{5} + \frac{y}{-2} = 1$.
Умножив на 10: $2x - 5y = 10$, или $2x - 5y - 10 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых, содержащих стороны ромба, для первого случая: $2x + 5y - 10 = 0$, $2x - 5y + 10 = 0$, $2x + 5y + 10 = 0$, $2x - 5y - 10 = 0$.

Случай 2: Меньшая диагональ (длиной 4) лежит на оси Ox, а большая (длиной 10) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $4/2 = 2$ и $10/2 = 5$. Вершины ромба будут иметь координаты:$A(2, 0)$, $C(-2, 0)$ на оси Ox и $B(0, 5)$, $D(0, -5)$ на оси Oy.

Аналогично первому случаю, найдем уравнения сторон:

- Прямая AB проходит через точки $A(2, 0)$ и $B(0, 5)$. Здесь $a=2$, $b=5$.
Уравнение: $\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 1$.
Умножив на 10: $5x + 2y = 10$, или $5x + 2y - 10 = 0$.

- Прямая BC проходит через точки $B(0, 5)$ и $C(-2, 0)$. Здесь $a=-2$, $b=5$.
Уравнение: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{5} = 1$.
Умножив на 10: $-5x + 2y = 10$, или $5x - 2y + 10 = 0$.

- Прямая CD проходит через точки $C(-2, 0)$ и $D(0, -5)$. Здесь $a=-2$, $b=-5$.
Уравнение: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{-5} = 1$.
Умножив на -10: $5x + 2y = -10$, или $5x + 2y + 10 = 0$.

- Прямая DA проходит через точки $D(0, -5)$ и $A(2, 0)$. Здесь $a=2$, $b=-5$.
Уравнение: $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$.
Умножив на 10: $5x - 2y = 10$, или $5x - 2y - 10 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых, содержащих стороны ромба, для второго случая: $5x + 2y - 10 = 0$, $5x - 2y + 10 = 0$, $5x + 2y + 10 = 0$, $5x - 2y - 10 = 0$.

1065 Прямая и окружность заданы уравнениями y = x – 2 и x² + (y – 2)² = 9. Установите их взаимное расположение.

Чтобы установить взаимное расположение прямой и окружности, можно либо найти количество их общих точек (аналитический способ), либо сравнить расстояние от центра окружности до прямой с её радиусом (геометрический способ).

Способ 1: Аналитический

Найдем количество точек пересечения, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = x - 2 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 9 \end{cases}$

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

$x^2 + ((x - 2) - 2)^2 = 9$

$x^2 + (x - 4)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x^2 - 8x + 16 = 9$

$2x^2 - 8x + 16 - 9 = 0$

$2x^2 - 8x + 7 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Количество его корней определяет количество точек пересечения. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8$

Так как дискриминант $D = 8 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Способ 2: Геометрический

Уравнение окружности $x^2 + (y - 2)^2 = 9$ задано в каноническом виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ - координаты центра, а $R$ - радиус.

Из уравнения находим:

• Центр окружности: точка $C(0, 2)$.
• Радиус окружности: $R = \sqrt{9} = 3$.

Теперь найдем расстояние $d$ от центра окружности $C(0, 2)$ до прямой $y = x - 2$. Для этого приведем уравнение прямой к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x - y - 2 = 0$

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты центра $C(0, 2)$ и коэффициенты прямой $A=1, B=-1, C=-2$:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $R$.

$d = 2\sqrt{2}$ и $R = 3$.

Чтобы сравнить $2\sqrt{2}$ и $3$, возведем оба числа в квадрат:

$d^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

$R^2 = 3^2 = 9$

Поскольку $8 < 9$, то $d^2 < R^2$, следовательно, $d < R$.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух точках (является секущей).

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Прямая пересекает окружность в двух точках.

1066 Найдите количество точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями y = x + 5 и x² + (y – 2)² = 9.

Чтобы найти количество точек пересечения прямой и окружности, необходимо определить, сколько общих решений имеет система уравнений, задающих эти фигуры.

Система уравнений:
$ \begin{cases} y = x + 5 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 9 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $y$ из первого уравнения (уравнения прямой) во второе уравнение (уравнение окружности):

$x^2 + ((x + 5) - 2)^2 = 9$

Упростим выражение в скобках:

$x^2 + (x + 3)^2 = 9$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 6x + 9 = 9$

Перенесем 9 в левую часть уравнения:

$2x^2 + 6x + 9 - 9 = 0$

$2x^2 + 6x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество действительных корней этого уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения. Решим его, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два возможных случая:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

Поскольку мы получили два различных действительных корня для $x$, это означает, что существуют две точки пересечения. Для каждого из этих значений $x$ можно найти соответствующее значение $y$, подставив их в уравнение прямой $y = x + 5$.

Ответ: 2

1067 Установите взаимное расположение окружностей, заданных уравнениями:
а) x² + y² = 9 и x² + y² = 4;
б) (x − 1)² + y² = 1 и x² + y² = 4.

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо найти их центры и радиусы, а затем сравнить расстояние между центрами с суммой и разностью их радиусов. Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

а) $x^2 + y^2 = 9$ и $x^2 + y^2 = 4$
Для первой окружности $x^2 + y^2 = 9$:
Центр $O_1$ находится в точке $(0, 0)$.
Радиус $R_1 = \sqrt{9} = 3$.

Для второй окружности $x^2 + y^2 = 4$:
Центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$.
Радиус $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ равно $d = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2} = 0$.
Поскольку центры окружностей совпадают ($d=0$), а радиусы различны ($R_1 \ne R_2$), окружности являются концентрическими. Окружность с меньшим радиусом ($R_2=2$) целиком лежит внутри окружности с большим радиусом ($R_1=3$). Они не имеют общих точек. Это соответствует случаю, когда расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов: $d < |R_1 - R_2|$, так как $0 < |3-2|$, то есть $0 < 1$.
Ответ: Окружности концентрические, одна расположена внутри другой, не пересекаются.

б) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$
Для первой окружности $(x - 1)^2 + y^2 = 1$:
Центр $O_1$ находится в точке $(1, 0)$.
Радиус $R_1 = \sqrt{1} = 1$.

Для второй окружности $x^2 + y^2 = 4$:
Центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$.
Радиус $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Найдем расстояние $d$ между центрами $O_1(1, 0)$ и $O_2(0, 0)$:
$d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$.
Теперь сравним расстояние $d$ с суммой и разностью радиусов:
Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3$.
Модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |1 - 2| = 1$.
Так как расстояние между центрами равно модулю разности радиусов ($d = |R_1 - R_2|$, поскольку $1 = 1$), окружности касаются внутренним образом в одной точке.
Ответ: Окружности касаются внутренним образом.

1068 Найдите количество точек пересечения окружностей, заданных уравнениями:
а) (x + 2)² + y² = 1 и x² + y² = 4;
б) (x + 3)² + y² = 1 и x² + y² = 4.

а)

Даны уравнения двух окружностей: $(x + 2)^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ – это координаты центра, а $R$ – радиус.

Для первой окружности, $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 1^2$, центр $O_1$ находится в точке $(-2, 0)$, а радиус $R_1 = 1$.

Для второй окружности, $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$, центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$, а радиус $R_2 = 2$.

Чтобы определить количество точек пересечения, найдем расстояние $d$ между центрами окружностей и сравним его с суммой и разностью их радиусов.

Расстояние между центрами $O_1(-2, 0)$ и $O_2(0, 0)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2} = 2$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3$.

Модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |1 - 2| = 1$.

Сравниваем полученные значения: $d = 2$, $R_1 + R_2 = 3$, $|R_1 - R_2| = 1$.

Так как выполняется неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$, то есть $1 < 2 < 3$, окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: 2.

б)

Даны уравнения двух окружностей: $(x + 3)^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$.

Для первой окружности, $(x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = 1^2$, центр $O_1$ находится в точке $(-3, 0)$, а радиус $R_1 = 1$.

Для второй окружности, $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$, центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$, а радиус $R_2 = 2$.

Найдем расстояние $d$ между центрами $O_1(-3, 0)$ и $O_2(0, 0)$.

$d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3$.

Сравниваем расстояние между центрами $d$ и сумму радиусов $R_1 + R_2$.

Так как $d = R_1 + R_2$ (поскольку $3 = 3$), окружности касаются друг друга внешним образом в одной точке.

Ответ: 1.

1069 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в 2 раза больше расстояния от точки В.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 324, а. Тогда точки A и B имеют координаты A(0;0), B(а;0), где а=AB.

Найдём расстояния от произвольной точки M(x;у) до точек A и B:

$AM=\sqrt{x^2+y^2},$

$BM=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+y^2}.$

Если точка M (x; у) принадлежит искомому множеству, то

AM=2BM, или AM²=4BM².

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

x²+y²=4((x−a)²+y²). (8)

Если же точка M не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

${\left(x-\frac{4}{3}a\right)}^2+y^2={\left(\frac{2}{3}a\right)}^2.$

Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса $\frac{2}{3}a$ с центром в точке $C\left(\frac{4}{3}a;0\right).$ Эта окружность изображена на рисунке 324, б.

Замечание

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек M, удовлетворяющих условию AM=kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса $\frac{ka}{\left|k^2-1\right|}$ с центром в точке $\left(\frac{k^{2}a}{k^2-1};0\right).$

Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек A и B. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Решение

Для нахождения искомого множества точек введем прямоугольную систему координат. Расположим точку A в начале координат, так что ее координаты будут $A(0; 0)$. Точку B расположим на оси абсцисс (оси Ox), тогда ее координаты будут $B(a; 0)$, где $a$ — это расстояние между точками A и B, то есть $a = AB$.

Пусть $M(x; y)$ — произвольная точка, принадлежащая искомому множеству. По условию задачи, расстояние от точки M до точки A в 2 раза больше расстояния от точки M до точки B. Это можно записать в виде равенства:

$AM = 2 \cdot BM$

Чтобы избавиться от квадратных корней в формуле расстояния, удобнее работать с квадратами расстояний. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$AM^2 = (2 \cdot BM)^2$

$AM^2 = 4 \cdot BM^2$

Теперь выразим квадраты расстояний $AM^2$ и $BM^2$ через координаты точек, используя формулу квадрата расстояния $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2$

Подставим эти выражения в наше уравнение $AM^2 = 4 \cdot BM^2$:

$x^2 + y^2 = 4 \left( (x - a)^2 + y^2 \right)$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение:

$x^2 + y^2 = 4 (x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4x^2 - 8ax + 4a^2 + 4y^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (в правую), чтобы получить уравнение искомого множества:

$(4x^2 - x^2) - 8ax + 4a^2 + (4y^2 - y^2) = 0$

$3x^2 - 8ax + 4a^2 + 3y^2 = 0$

Чтобы привести это уравнение к каноническому виду уравнения окружности, разделим все члены на 3:

$x^2 - \frac{8}{3}ax + \frac{4}{3}a^2 + y^2 = 0$

Теперь выделим полный квадрат для переменной $x$. Для этого сгруппируем члены, содержащие $x$, и добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$ (то есть квадрат от $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{8}{3}a) = -\frac{4}{3}a$):

$\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{3}a + \left(\frac{4}{3}a\right)^2\right) - \left(\frac{4}{3}a\right)^2 + \frac{4}{3}a^2 + y^2 = 0$

Свернем полный квадрат и приведем подобные слагаемые:

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 - \frac{16}{9}a^2 + \frac{12}{9}a^2 + y^2 = 0$

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 - \frac{4}{9}a^2 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \frac{4}{9}a^2$

Это уравнение можно записать в виде:

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 + (y - 0)^2 = \left(\frac{2}{3}a\right)^2$

Данное уравнение является каноническим уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Сравнивая, находим параметры окружности:

• Координаты центра: $(x_0; y_0) = \left(\frac{4}{3}a; 0\right)$
• Радиус: $R = \frac{2}{3}a$

Центр окружности $C\left(\frac{4}{3}a; 0\right)$ лежит на оси Ox, то есть на прямой, проходящей через точки A и B. Расстояние от центра C до точки A (начала координат) равно $\frac{4}{3}a = \frac{4}{3}AB$. Радиус окружности равен $\frac{2}{3}a = \frac{2}{3}AB$.

Ответ: Искомое множество точек — это окружность с центром в точке C, лежащей на прямой AB на расстоянии $\frac{4}{3}AB$ от точки A (причем точка B лежит между A и C), и радиусом $R = \frac{2}{3}AB$.